3*. Две машинистки выполнили всю работу за 4 часа, но после окончания работы выяснилось, что часть работы, выполненная второй машинисткой, испорчена, и первая машинистка перепечатала испорченную часть за 5 часов. За какое время вторая машинистка могла бы перепечатать часть работы, выполненную первой при совместной работе?

Решение:

Пусть \( W \) – весь объем работы.

Пусть \( v_1 \) – производительность первой машинистки (часть работы в час), \( v_2 \) – производительность второй машинистки (часть работы в час).

Совместная работа двух машинисток: \( (v_1 + v_2) \cdot 4 = W \). Отсюда \( v_1 + v_2 = \frac{W}{4} \).

Первая машинистка перепечатала испорченную часть (часть работы, выполненную второй) за 5 часов. Обозначим эту часть как \( W_2 \). Тогда \( v_1 \cdot 5 = W_2 \).

Из условия, \( W_2 \) – это часть работы, выполненная второй машинисткой. Если бы вторая машинистка работала одна, она бы выполнила всю работу \( W \) за время \( T_2 = \frac{W}{v_2} \). Следовательно, \( W_2 = v_2 \cdot T_2 = \frac{W}{T_2} \).

Из \( v_1 · 5 = W_2 \) и \( W_2 = v_2 · T_2 \) следует, что \( 5v_1 = T_2 v_2 \).

Мы не знаем, какую часть работы выполнила вторая машинистка, но знаем, что первая перепечатала её работу. Это означает, что \( W_2 \) – это та доля работы, которую должна была бы сделать вторая машинистка, если бы работала одна.

Вернемся к \( v_1 + v_2 = \frac{W}{4} \).

Первая машинистка перепечатала испорченную часть за 5 часов. Это значит, что \( 5v_1 = W_2 \).

Если бы вторая машинистка работала одна, она бы выполнила всю работу \( W \) за время \( T_2 = \frac{W}{v_2} \).

Из условия, вторая машинистка выполнила часть работы, которая была испорчена. Эта часть равна \( W_2 \). Мы знаем, что первая перепечатала эту часть за 5 часов, то есть \( W_2 = 5v_1 \).

Следовательно, \( v_1 = \frac{W_2}{5} \).

Подставим в \( v_1 + v_2 = \frac{W}{4} \): \( \frac{W_2}{5} + v_2 = \frac{W}{4} \).

Работа, выполненная второй машинисткой, равна \( W_2 \). Сколько времени потребуется второй машинистке, чтобы выполнить эту работу \( W_2 \)? Время = \( \frac{W_2}{v_2} \).

Мы не можем найти \( W_2 \) и \( v_1, v_2 \) в отдельности, но можем найти их соотношение.

Пусть \( v_1 = 1 \) доля работы в час. Тогда \( W_2 = 5 \) доли. Первая машинистка перепечатала 5 долей работы за 5 часов.

Совместно они сделали \( W \) работы за 4 часа. \( 4(1+v_2) = W \).

Испорченная часть работы, выполненная второй машинисткой, составляет \( W_2 \). Первая машинистка перепечатала \( W_2 \) за 5 часов, то есть \( v_1 = W_2/5 \).

Пусть \( W=1 \) (вся работа). Тогда \( v_1+v_2 = 1/4 \).

Пусть \( x \) – часть работы, выполненная второй машинисткой. Тогда \( x = v_2 · 4 \).

Первая машинистка перепечатала \( x \) за 5 часов: \( v_1 · 5 = x \).

Значит, \( v_1 = x/5 \).

Подставим в \( v_1+v_2 = 1/4 \): \( x/5 + v_2 = 1/4 \).

Мы ищем время, за которое вторая машинистка могла бы перепечатать часть работы, выполненную первой. Работа, выполненная первой, равна \( W_1 = W - W_2 = 1 - x \).

Время = \( \frac{W_1}{v_2} = \frac{1-x}{v_2} \).

Из \( x/5 + v_2 = 1/4 \) имеем \( v_2 = 1/4 - x/5 \).

Время = \( \frac{1-x}{1/4 - x/5} = \frac{1-x}{(5-4x)/20} = \frac{20(1-x)}{5-4x} \).

Это решение неполное, так как \( x \) не найдено.

Рассмотрим условие: первая машинистка перепечатала испорченную часть (выполненную второй) за 5 часов. Пусть этой частью была \( y \) часть всей работы. Тогда \( y = v_2 · 4 \) (работа, сделанная второй бригадой за 4 часа). Первая машинистка перепечатала эту часть \( y \) за 5 часов, то есть \( v_1 · 5 = y \).

Из \( v_1 + v_2 = 1/4 \) и \( y = 4v_2 \), \( y = 5v_1 \) имеем:

\( v_1 = y/5 \)

\( v_2 = y/4 \)

Подставим в \( v_1 + v_2 = 1/4 \):

\( y/5 + y/4 = 1/4 \)

\( \frac{4y + 5y}{20} = 1/4 \)

\( \frac{9y}{20} = 1/4 \)

\( 9y = 20/4 = 5 \)

\( y = 5/9 \) (испорченная часть работы).

Значит, вторая машинистка выполнила \( 5/9 \) работы.

Первая машинистка выполнила \( 1 - 5/9 = 4/9 \) работы.

Нас спрашивают: За какое время вторая машинистка могла бы перепечатать часть работы, выполненную первой при совместной работе?

Работа, выполненная первой машинисткой, равна \( 4/9 \) всей работы. Нам нужно найти время, за которое вторая машинистка выполнит эту часть работы \( 4/9 \).

Сначала найдём производительности \( v_1 \) и \( v_2 \).

\( v_1 = y/5 = (5/9)/5 = 1/9 \) (работа в час).

\( v_2 = y/4 = (5/9)/4 = 5/36 \) (работа в час).

Проверим: \( v_1 + v_2 = 1/9 + 5/36 = 4/36 + 5/36 = 9/36 = 1/4 \). Совпадает.

Работа, выполненная первой машинисткой = \( W_1 = 1 - y = 1 - 5/9 = 4/9 \).

Время, за которое вторая машинистка выполнит \( W_1 \) = \( \frac{W_1}{v_2} = \frac{4/9}{5/36} = \frac{4}{9} · \frac{36}{5} = \frac{4 · 4}{5} = \frac{16}{5} \) часа.

\( \frac{16}{5} = 3.2 \) часа.

Ответ: \( 3.2 \) часа (или 3 часа 12 минут).