3. Даны векторы а (-2; п) и в {6; – 18). При каком значении п векторы а и в будут а) коллинеарны, б) перпендикулярны?

Решение:

Даны векторы \(\vec{a} = (-2; n)\) и \(\vec{b} = (6; -18)\).

а) Условие коллинеарности векторов:

• Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть \(\frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b}\).
• \(\frac{-2}{6} = \frac{n}{-18}\)
• Упростим первую дробь: \(\frac{-1}{3} = \frac{n}{-18}\)
• Решим уравнение относительно n: \(n = \frac{-1 * -18}{3} = \frac{18}{3} = 6\).
• Итак, векторы коллинеарны при \(n = 6\).

б) Условие перпендикулярности векторов:

• Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \(\vec{a} · \vec{b} = 0\).
• Скалярное произведение: \(x_a * x_b + y_a * y_b = 0\).
• \((-2) * (6) + (n) * (-18) = 0\)
• \(-12 - 18n = 0\)
• \(-18n = 12\)
• \(n = \frac{12}{-18} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}\).
• Итак, векторы перпендикулярны при \(n = -\frac{2}{3}\).

Ответ:

• а) Коллинеарны при \(n = 6\).
• б) Перпендикулярны при \(n = -\frac{2}{3}\).