3. Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2, считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?

Плоскость делит высоту конуса в отношении 1:2 от вершины. Это означает, что высота меньшего конуса (верхней части) составляет 1/3 от общей высоты, а высота усечённого конуса (нижней части) составляет 2/3 от общей высоты.

Объём конуса пропорционален кубу его высоты. Отношение объёмов подобных конусов равно кубу отношения их высот. Объём верхнего конуса V_верх = (1/3)³ * V_всего = (1/27) * 54 = 2.

Объём нижней части (усечённого конуса) равен разнице объёмов: V_нижняя = V_всего - V_верх = 54 - 2 = 52.