3. Через концы диаметра АВ окружности с центром О проведены параллельные хорды ВС и AD (рис. 272). Докажите, что AD = BC.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим окружность с центром O и диаметром AB.
2. Шаг 2: Проведены параллельные хорды BC и AD.
3. Шаг 3: Так как BC || AD, то дуги, заключенные между этими параллельными хордами, равны. Это означает, что дуга AC равна дуге BD.
4. Шаг 4: Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, хорда AC равна хорде BD.
5. Шаг 5: Рассмотрим треугольники △ABC и △BAD.
6. Шаг 6: AB — общий диаметр (и, следовательно, общая сторона для обоих треугольников).
7. Шаг 7: Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на диаметр AB, значит, ∠ACB = 90°. Аналогично, угол ADB, опирающийся на диаметр AB, равен 90°.
8. Шаг 8: Теперь сравним △ABC и △BAD:
• AB = BA (общая сторона)
• ∠ACB = ∠BDA = 90° (углы, опирающиеся на диаметр)
• BC = AD (по условию, параллельные хорды, стягивающие равные дуги AC и BD)
9. Шаг 9: По двум сторонам и углу между ними (или по двум сторонам и гипотенузе, если рассматривать прямоугольные треугольники) треугольники △ABC и △BAD равны.
10. Шаг 10: Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Таким образом, AC = BD.
11. Шаг 11: Также, из равенства треугольников следует, что AD = BC.

Доказано