3. CD — касательная (D — точка касания) к окружности с центром O, ∠DCO = 30°. Точка С удалена от центра окружности на 20 см. Вычислите длину диаметра окружности и расстояние от её центра до касательной.

3. Вычисление диаметра окружности и расстояния от центра до касательной.

Дано:

• Окружность с центром O.
• CD — касательная к окружности в точке D.
• ∠DCO = 30°.
• Расстояние от точки C до центра O равно 20 см (OC = 20 см).

Найти:

1. Диаметр окружности.
2. Расстояние от центра O до касательной CD.

Решение:

1. Расстояние от центра до касательной:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это означает, что OD ⊥ CD.

Следовательно, угол ∠ODC = 90°.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ΔODC, где:

• OC — гипотенуза (расстояние от точки C до центра окружности), OC = 20 см.
• OD — катет (радиус окружности, который нам нужно найти).
• CD — катет.
• ∠DCO = 30° (дан по условию).

В прямоугольном треугольнике, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Катет OD лежит против угла ∠DCO = 30°.

• $$OD = \frac{1}{2} \times OC$$
• $$OD = \frac{1}{2} \times 20 \text{ см}$$
• $$OD = 10 \text{ см}$$

Таким образом, радиус окружности равен 10 см. Расстояние от центра окружности до касательной CD — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на касательную. В данном случае, это радиус OD, проведенный в точку касания D.

Расстояние от центра до касательной = 10 см.

2. Длина диаметра окружности:

Диаметр окружности равен двум ее радиусам.

• Диаметр = $$2 \times \text{радиус}$$
• Диаметр = $$2 \times OD$$
• Диаметр = $$2 \times 10 \text{ см}$$
• Диаметр = $$20 \text{ см}$$

Ответ:

Длина диаметра окружности равна 20 см.

Расстояние от её центра до касательной равно 10 см.