3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Пусть данный равнобедренный треугольник — АВС, где АВ = АС = 5, а угол при вершине $$∠ BAC = 120^°$$.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $$∠ ABC = ∠ ACB = (180^° - 120^°) / 2 = 60^° / 2 = 30^°$$.
• По теореме синусов для треугольника АВС: $$\frac{a}{\text{sin A}} = \frac{b}{\text{sin B}} = \frac{c}{\text{sin C}} = 2R$$, где R — радиус описанной окружности.
• Нам нужно найти основание $$a = BC$$. Применим теорему косинусов к стороне BC: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \text{cos A}$$.
• $$BC^2 = 5^2 + 5^2 - 2 ∗ 5 ∗ 5 \text{cos}(120^°)$$.
• $$BC^2 = 25 + 25 - 50 ∗ (-0.5)$$.
• $$BC^2 = 50 + 25 = 75$$.
• $$BC = √{75} = 5√{3}$$.
• Теперь используем теорему синусов для нахождения радиуса описанной окружности: $$\frac{BC}{\text{sin}(∠ BAC)} = 2R$$.
• $$\frac{5√{3}}{\text{sin}(120^°)} = 2R$$.
• $$\text{sin}(120^°) = \text{sin}(180^° - 60^°) = \text{sin}(60^°) = \frac{√{3}}{2}$$.
• $$\frac{5√{3}}{\frac{√{3}}{2}} = 2R$$.
• $$5√{3} ∗ \frac{2}{√{3}} = 2R$$.
• $$10 = 2R$$.
• $$R = 5$$.
• Диаметр описанной окружности равен $$D = 2R = 2 ∗ 5 = 10$$.

Ответ: 10