3) B AD: DC = 1:2 AB = 13см, BD = 5см, tgC?

Задание 3. Треугольник

Дано:

• \( \triangle ABC \)
• Точка D на стороне BC.
• \( AD : DC = 1 : 2 \)
• \( AB = 13 \) см
• \( BD = 5 \) см

Найти: \( \text{tg}C \).

Решение:

Сначала найдём длину стороны \( BC \). Так как \( D \) — точка на стороне \( BC \), то \( BC = BD + DC \). Нам дано соотношение \( AD : DC = 1 : 2 \), но нам нужно найти \( DC \). Вероятно, в условии ошибка, и должно быть \( BD : DC = 1 : 2 \) или \( AD \) — это высота.

Предположим, что \( BD : DC = 1 : 2 \). Тогда \( DC = 2 · BD = 2 · 5 = 10 \) см. Тогда \( BC = BD + DC = 5 + 10 = 15 \) см.

Теперь рассмотрим \( \triangle ABD \). По теореме косинусов:

\[ AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 · AB · BD · \cos(\angle B) \]

Мы не знаем \( \angle B \) и \( AD \). Это усложняет решение.

Переформулируем условие, предполагая, что \( AD \) — это высота, опущенная на \( BC \).

Дано (исправленное):

• \( \triangle ABC \)
• \( AD \) — высота, \( AD \perp BC \).
• \( BD : DC = 1 : 2 \)
• \( AB = 13 \) см
• \( BD = 5 \) см

Найти: \( \text{tg}C \).

Решение (исправленное):

Из условия \( BD : DC = 1 : 2 \) и \( BD = 5 \) см, находим \( DC \):

\[ DC = 2 · BD = 2 · 5 = 10 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABD \). По теореме Пифагора найдём высоту \( AD \):

\[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \] \[ 13^2 = AD^2 + 5^2 \] \[ 169 = AD^2 + 25 \] \[ AD^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ AD = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ADC \). Нам нужно найти \( \text{tg}C \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ADC \):

\[ \text{tg}C = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AD}{DC} \]

Подставим найденные значения:

\[ \text{tg}C = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1.2 \]

Ответ: tgC = 1.2