2) Один из углов равнобедр трапеции = 120°. Длины оснований трапеции 7 см и 13 см. Найти периметр

Задание 2. Равнобедренная трапеция

Дано:

• Трапеция равнобедренная.
• Угол при основании \( \alpha = 120^\circ \).
• Большее основание \( a = 13 \) см.
• Меньшее основание \( b = 7 \) см.

Найти: периметр \( P \).

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна \( 180^\circ \). Значит, второй угол при основании будет \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). Однако, обычно указывают острый угол как угол при основании. Если \( 120^\circ \) — это тупой угол при основании, то острый угол равен \( 60^\circ \). Предположим, что \( 120^\circ \) — это тупой угол при основании, тогда острый угол \( 60^\circ \).

Обозначим боковую сторону трапеции как \( c \).

Опустим высоты из концов меньшего основания на большее основание. Получим два прямоугольных треугольника с острым углом \( 60^\circ \). Большее основание \( a \) разделится на три отрезка: \( x \), \( b \) (меньшее основание) и \( x \). Таким образом, \( a = b + 2x \).

Найдём \( x \):

\[ 2x = a - b = 13 - 7 = 6 \text{ см} \]\[ x = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Катет \( x = 3 \) см является прилежащим к углу \( 60^\circ \). Используем косинус:

\[ \cos(60^\circ) = \frac{x}{c} \]

\( c = \frac{x}{\cos(60^\circ)} = \frac{3}{0.5} = 6 \text{ см} \)

Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон:

\[ P = a + b + 2c \]

Подставим значения:

\[ P = 13 + 7 + 2 \cdot 6 = 20 + 12 = 32 \text{ см} \]

Ответ: периметр трапеции равен 32 см.