3. ABCD — трапеция. AB = 4, BC = 7, ∠A = 60°, ∠D = 45°. Найти P_ABCD и S_ABCD.

Высота трапеции находится по стороне AB:

\[h=AB\sin60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3.\]

Проекция стороны AB на основание:

\[AB\cos60^\circ=4\cdot\frac12=2.\]

Проекция боковой стороны CD:

\[CD\cos45^\circ=h,\qquad CD=\frac{2\sqrt3}{\sqrt2/2}=2\sqrt6.\]

Её проекция на основание равна

\[CD\cos45^\circ=2\sqrt3.\]

Поэтому нижнее основание:

\[AD=2+BC+2\sqrt3=2+7+2\sqrt3=9+2\sqrt3.\]

Периметр:

\[P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=4+7+2\sqrt6+9+2\sqrt3=20+2\sqrt3+2\sqrt6.\]

Площадь трапеции:

\[S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{9+2\sqrt3+7}{2}\cdot2\sqrt3=16\sqrt3+6.\]

Ответ: \(P_{ABCD}=20+2\sqrt3+2\sqrt6\), \(S_{ABCD}=6+16\sqrt3\).