3) 16^{1+log_4 5} + 4^{1/2 * log_2 3 + 3 * log_8 5}

Привет! Давай решим третье задание.

3) 16^{1+log₄ 5} + 4^{1/2 * log₂ 3 + 3 * log₈ 5}

Будем разбирать каждый член отдельно.

Первый член: 16^{1+log₄ 5}

1. Используем свойство степеней $$a^{m+n} = a^m · a^n$$.
2. $$16^{1+\log_4 5} = 16^1 \cdot 16^{\log_4 5}$$.
3. $$16^1 = 16$$.
4. Теперь разберемся с $$16^{\log_4 5}$$.
• Заметим, что $$16 = 4^2$$.
• $$16^{\log_4 5} = (4^2)^{\log_4 5} = 4^{2 \cdot \log_4 5}$$.
• Используем свойство $$k · \log_a b = \log_a b^k$$: $$4^{\log_4 5^2} = 4^{\log_4 25}$$.
• По основному свойству логарифма $$a^{\log_a b} = b$$: $$4^{\log_4 25} = 25$$.
5. Собираем все вместе: $$16 · 25$$.
6. $$16 · 25 = 400$$.

Второй член: 4^{1/2 * log₂ 3 + 3 * log₈ 5}

1. Сначала упростим показатель степени: $$1/2 · \log_2 3 + 3 · \log_8 5$$.
• $$1/2 · \log_2 3 = \log_2 3^{1/2} = \log_2 √3$$.
• Теперь разберемся с $$3 · \log_8 5$$.
• $$8 = 2^3$$.
• $$· \log_8 5 = 3 · \log_{2^3} 5$$.
• По свойству $$log_{a^m} b = 1/m · log_a b$$: $$3 · (1/3 · \log_2 5) = \log_2 5$$.
2. Итак, показатель степени равен: $$\log_2 √3 + \log_2 5$$.
3. Используем свойство $$log_a b + log_a c = log_a (b · c)$$: $$\log_2 (√3 · 5) = \log_2 (5√3)$$.
4. Теперь подставим упрощенный показатель обратно: $$4^{\log_2 (5√3)}$$.
• Заметим, что $$4 = 2^2$$.
• $$4^{\log_2 (5√3)} = (2^2)^{\log_2 (5√3)} = 2^{2 · \log_2 (5√3)}$$.
• Используем свойство $$k · \log_a b = \log_a b^k$$: $$2^{\log_2 (5√3)^2}$$.
• $$(5√3)^2 = 5^2 · (√3)^2 = 25 · 3 = 75$$.
• Получаем: $$2^{\log_2 75}$$.
• По основному свойству логарифма: $$2^{\log_2 75} = 75$$.

Теперь сложим оба члена:

$$400 + 75 = 475$$.

Ответ: 475