2) (81^{1/4} - 1/2 * log_9 4 + 25^{log_{125} 8}) * 49^{log_7 2}

Давай посчитаем второе выражение. Оно выглядит немного сложнее, но мы справимся!

2) (81^1/4 - 1/2 * log₉ 4 + 25^{log₁₂₅ 8}) * 49^{log₇ 2}

Разберем выражение на две части: в скобках и множитель перед скобкой.

Часть 1: Выражение в скобках (81^1/4 - 1/2 * log₉ 4 + 25^{log₁₂₅ 8})

1. 81^1/4
• Это корень четвертой степени из 81.
• $$81^{1/4} = ∛_4{81} = 3$$, так как $$3^4 = 81$$.
2. 1/2 * log₉ 4
• Сначала найдем $$log_9 4$$.
• $$log_9 4 = log_{3^2} 2^2$$.
• По свойству логарифма $$log_{a^m} b^n = n/m * log_a b$$.
• $$log_{3^2} 2^2 = 2/2 * log_3 2 = log_3 2$$.
• Теперь умножим на 1/2: $$1/2 * log_3 2$$.
• Используем свойство $$k * log_a b = log_a b^k$$: $$1/2 * log_3 2 = log_3 2^{1/2} = log_3 √2$$.
3. 25^{log₁₂₅ 8}
• Здесь основания степени и логарифма разные. Нужно привести их к одному основанию.
• $$25 = 5^2$$, $$125 = 5^3$$, $$8 = 2^3$$.
• $$25^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\log_{5^3} 2^3}$$.
• По свойству $$log_{a^m} b^n = n/m * log_a b$$: $$log_{5^3} 2^3 = 3/3 * log_5 2 = log_5 2$$.
• Итак, имеем: $$(5^2)^{\log_5 2} = 5^{2 \cdot \log_5 2}$$.
• По свойству $$k * log_a b = log_a b^k$$: $$5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4}$$.
• По основному свойству логарифма: $$5^{\log_5 4} = 4$$.

Теперь сложим эти части:

$$3 - log_3 √2 + 4 = 7 - log_3 √2$$.

Часть 2: Множитель 49^{log₇ 2}

1. $$49 = 7^2$$.
2. $$49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2 \cdot \log_7 2}$$.
3. По свойству $$k * log_a b = log_a b^k$$: $$7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4}$$.
4. По основному свойству логарифма: $$7^{\log_7 4} = 4$$.

Теперь перемножим обе части:

$$(7 - log_3 √2) * 4 = 28 - 4 * log_3 √2$$.

Ответ: 28 - 4 * log₃ √2