3. (1 балл) Найдите 5 sin a, если cos a = 2/5 и α ∈ (3π/2; 2π).

Решение:

Нам дано, что \( \cos \alpha = \frac{2}{5} \) и \( \alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

1. Найдем \( \sin^2 \alpha \):
\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25 - 4}{25} = \frac{21}{25} \]
2. Теперь найдем \( \sin \alpha \). Так как \( \alpha \) находится в четвёртой четверти (от \( \frac{3\pi}{2} \) до \( 2\pi \)), синус в этой четверти отрицателен.
\[ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5} \]
3. Наконец, найдем \( 5 \sin \alpha \):
\[ 5 \sin \alpha = 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right) = -\sqrt{21} \]

Ответ: -√21