26 Тип 20 № 338829 i Решите неравенство (x-2)² <√√3(x-2).

Решение:

Перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить ноль в правой части:

• \[ (x-2)^2 - \sqrt{3}(x-2) < 0 \]

Теперь вынесем общий множитель (x-2) за скобки:

• \[ (x-2) \left( (x-2) - \sqrt{3} \right) < 0 \]
• \[ (x-2)(x - 2 - \sqrt{3}) < 0 \]

У нас получилось произведение двух множителей, которое должно быть меньше нуля. Это возможно в двух случаях:

1. Первый множитель положительный, а второй отрицательный.
2. Первый множитель отрицательный, а второй положительный.

Найдем корни уравнения (x-2)\(x - 2 - \sqrt{3}\) = 0 :

• \[ x-2 = 0 \implies x = 2 \]
• \[ x - 2 - \sqrt{3} = 0 \implies x = 2 + \sqrt{3} \]

Теперь отметим эти корни на числовой оси и определим знаки произведения на интервалах:

Числа: 2 и 2 + \(\sqrt{3}\) . Так как \(\sqrt{3}\) \(\approx\) 1.732 , то 2 + \(\sqrt{3}\) \(\approx\) 3.732 .

Интервалы:

• \(-\infty, 2\)
• \(2, 2 + \sqrt{3}\)
• \(2 + \sqrt{3}, \infty\)

Подставим тестовые значения:

• Для интервала \(-\infty, 2\) , возьмем x=0 : (0-2)\(0 - 2 - \sqrt{3}\) = (-2)\(-2 - \sqrt{3}\) = 4 + 2\(\sqrt{3}\) > 0 (плюс).
• Для интервала \(2, 2 + \sqrt{3}\) , возьмем x=3 : (3-2)\(3 - 2 - \sqrt{3}\) = (1)\(1 - \sqrt{3}\) . Так как \(\sqrt{3}\) > 1 , то 1 - \(\sqrt{3}\) < 0 . Получаем: 1 * (отрицательное число) < 0 (минус).
• Для интервала \(2 + \sqrt{3}, \infty\) , возьмем x=4 : (4-2)\(4 - 2 - \sqrt{3}\) = (2)\(2 - \sqrt{3}\) . Так как 2 > \(\sqrt{3}\) , то 2 - \(\sqrt{3}\) > 0 . Получаем: 2 * (положительное число) > 0 (плюс).

Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, то есть отрицательным. Это соответствует интервалу \(2, 2 + \sqrt{3}\) .

Ответ: \(2, 2 + \sqrt{3}\)