24. Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Доказательство:

1. Рассмотрим окружность с центром в точке E. Точки C и D лежат на этой окружности. Отрезок CD является хордой.
2. Отрезок EF соединяет центры двух окружностей.
3. Рассмотрим хорду CD. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.
4. В треугольнике ECD, EC = ED (радиусы окружности с центром E), значит, треугольник равнобедренный. EF является осью симметрии для точек C и D относительно окружности с центром E.
5. Аналогично, в треугольнике FCD, FC = FD (радиусы окружности с центром F), значит, треугольник равнобедренный. EF также является осью симметрии для точек C и D относительно окружности с центром F.
6. Отрезок EF проходит через середину хорды CD и является перпендикулярным к ней.
7. Следовательно, прямая CD перпендикулярна прямой EF.

Что и требовалось доказать.