23. Вычислите: \(-\frac{6}{5} + \frac{12}{35} \cdot 1\frac{13}{15} + 5 : 7\frac{1}{2}\)

Решение:

1. Вычислим умножение:

   \[ \frac{12}{35} \cdot 1\frac{13}{15} = \frac{12}{35} \cdot \frac{1 \times 15 + 13}{15} = \frac{12}{35} \cdot \frac{28}{15} \]

   Сократим дроби: 12 и 15 на 3, 28 и 35 на 7.

   \[ \frac{12}{35} \cdot \frac{28}{15} = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25} \]

2. Вычислим деление:

   \[ 5 : 7\frac{1}{2} = 5 : \frac{7 \times 2 + 1}{2} = 5 : \frac{15}{2} = 5 \times \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \]

3. Выполним сложение:

   \[ -\frac{6}{5} + \frac{16}{25} + \frac{2}{3} \]Приведем к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 5, 25 и 3 равно 75.

   \[ -\frac{6 \times 15}{5 \times 15} + \frac{16 \times 3}{25 \times 3} + \frac{2 \times 25}{3 \times 25} = -\frac{90}{75} + \frac{48}{75} + \frac{50}{75} = \frac{-90 + 48 + 50}{75} = \frac{8}{75} \]

Ответ: The final answer is $$\frac{8}{75}$$.