22. Тип 3 № 94

Решение:

Найдем значение выражения при заданных значениях \(a\) и \(b\).

Дано: \( a = 8\sqrt{3} + 7 \), \( b = \sqrt{3} - 3 \).

Выражение: \( \frac{8ab}{a+8b} \cdot \left( \frac{a}{8b} - \frac{8b}{a} \right) \)

Упростим выражение внутри скобок:

\[ \frac{a}{8b} - \frac{8b}{a} = \frac{a^2 - (8b)^2}{8ab} = \frac{a^2 - 64b^2}{8ab} \]

Теперь умножим на множитель перед скобками:

\[ \frac{8ab}{a+8b} \cdot \frac{a^2 - 64b^2}{8ab} = \frac{8ab}{a+8b} \cdot \frac{(a-8b)(a+8b)}{8ab} \]

Сокращаем \(8ab\) и \((a+8b)\) (при условии \(a+8b \neq 0\) и \(8ab \neq 0\)):

\[ a - 8b \]

Теперь подставим значения \(a\) и \(b\):

\[ a - 8b = (8\sqrt{3} + 7) - 8(\sqrt{3} - 3) = 8\sqrt{3} + 7 - 8\sqrt{3} + 24 = 7 + 24 = 31 \]

Ответ: 31