22. Решите систему уравнений: { y + x² = 12, (logy x + logx y = 2)

Решение:

Рассмотрим систему уравнений:

\( \begin{cases} y + x^2 = 12 \\ \log_y x + \log_x y = 2 \end{cases} \)

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение.

Используем свойство логарифмов \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \). Введём замену \( t = \log_y x \). Тогда \( \log_x y = \frac{1}{t} \).

Второе уравнение примет вид:

\( t + \frac{1}{t} = 2 \)

Умножим обе части на \( t \) (учитывая, что \( t \neq 0 \), что следует из определения логарифма):

\( t^2 + 1 = 2t \)

\( t^2 - 2t + 1 = 0 \)

\( (t - 1)^2 = 0 \)

\( t = 1 \)

Сделаем обратную замену:

\( \log_y x = 1 \)

Из определения логарифма следует, что \( x = y^1 \), то есть \( x = y \).

Шаг 2: Подставим \( x = y \) в первое уравнение.

\( y + y^2 = 12 \)

\( y^2 + y - 12 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \).

Корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Шаг 3: Проверим условия существования логарифмов.

Для \( \log_y x \) и \( \log_x y \) должны выполняться условия:

• \( y > 0 \) и \( y \neq 1 \)
• \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \)

Рассмотрим найденные значения \( y \):

• Если \( y = 3 \), то \( x = y = 3 \). Оба условия \( y > 0, y \neq 1 \) и \( x > 0, x \neq 1 \) выполняются.
• Если \( y = -4 \), то \( x = y = -4 \). Условие \( y > 0 \) не выполняется. Этот корень не подходит.

Шаг 4: Запишем ответ.

Единственное подходящее решение системы — \( x = 3, y = 3 \).

Ответ: \( (3; 3) \).