19. Найдите наименьшее значение функции y = 5 cos x - 15x + 6 на отрезке [-π/2; 0]

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = 5 \cos x - 15x + 6 \) на отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \), найдём производную функции и критические точки.

1. Найдём производную функции: \( y' = (5 \cos x - 15x + 6)' = -5 \sin x - 15 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( -5 \sin x - 15 = 0 \).
3. Решим уравнение: \( -5 \sin x = 15 \) \( \implies \sin x = -3 \).
4. Уравнение \( \sin x = -3 \) не имеет решений, так как область значений синуса \( [-1; 1] \). Следовательно, критических точек внутри отрезка нет.
5. Вычислим значения функции на концах отрезка:
• При \( x = -\frac{\pi}{2} \): \( y = 5 \cos(-\frac{\pi}{2}) - 15(-\frac{\pi}{2}) + 6 = 5 \cdot 0 + \frac{15\pi}{2} + 6 = \frac{15\pi}{2} + 6 \).
• При \( x = 0 \): \( y = 5 \cos(0) - 15(0) + 6 = 5 \cdot 1 - 0 + 6 = 11 \).
6. Сравним значения: \( \frac{15\pi}{2} + 6 \approx \frac{15 \cdot 3.14}{2} + 6 = \frac{47.1}{2} + 6 = 23.55 + 6 = 29.55 \).
7. Наименьшее значение равно 11.

Ответ: 11.