22. Решите систему уравнений: { (\(\left\(\frac{1}{3}\right\)^x \(\cdot\) \(\left\)\(\frac{1}{3}\right\)^{-y} = \(\frac{1}{27}\)\\ \(\log\)_{64} x + \(\log\)_{64} y = \(\frac{1}{3}\)

Решение:

1. Первое уравнение:
   \( \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-y} = \frac{1}{27} \)
   \( \left(\frac{1}{3}\right)^{x-y} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \)
   Приравниваем показатели степеней: \( x - y = 3 \) (1)
2. Второе уравнение:
   \( \log_{64} x + \log_{64} y = \frac{1}{3} \)
   Используем свойство логарифмов \( \log_b A + \log_b B = \log_b (A \cdot B) \):
   \( \log_{64} (xy) = \frac{1}{3} \)
   Переводим логарифмическое уравнение в показательное:
   \( xy = 64^{\frac{1}{3}} \)
   \( xy = \sqrt[3]{64} \)
   \( xy = 4 \) (2)
3. Решаем систему из уравнений (1) и (2):
   \( \begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 4 \end{cases} \)
   Из уравнения (1) выразим \( x = 3 + y \).
4. Подставим \( x \) во второе уравнение: \( (3+y)y = 4 \)
   \( 3y + y^2 = 4 \)
   \( y^2 + 3y - 4 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение относительно \( y \):
   \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)
   \( y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \)
   \( y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \)
6. Найдем соответствующие значения \( x \):
   Если \( y_1 = 1 \), то \( x_1 = 3 + 1 = 4 \).
7. Если \( y_2 = -4 \), то \( x_2 = 3 + (-4) = -1 \).
8. Проверяем условия существования логарифма: аргументы логарифмов \( x \) и \( y \) должны быть положительными.
9. Пара \( x_2 = -1, y_2 = -4 \) не удовлетворяет условию \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
10. Пара \( x_1 = 4, y_1 = 1 \) удовлетворяет условиям \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Ответ: x = 4, y = 1.