21. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 1, а плоский угол при вершине равен 2а. Вычислите объем этой пирамиды.

Решение:

1. Дано: Правильная четырехугольная пирамида, \( l = 1 \) (боковое ребро), \( \alpha = 2a \) (плоский угол при вершине).
2. Найти: \( V \) (объем пирамиды).
3. Объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \)
4. Основание пирамиды — квадрат. Плоский угол при вершине — это угол между двумя боковыми ребрами, выходящими из одной вершины. В правильной четырехугольной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Плоский угол при вершине — это угол при вершине каждого из этих треугольников.
5. Пусть \( a \) — сторона основания. В боковой грани (равнобедренном треугольнике) по теореме косинусов: \( a^2 = l^2 + l^2 - 2 l \cdot l \cos(2a) \)
6. \( a^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cos(2a) = 2 - 2 \cos(2a) \)
7. \( a^2 = 2(1 - \cos(2a)) = 2(2 \sin^2 a) = 4 \sin^2 a \)
8. \( a = 2 \sin a \)
9. Площадь основания: \( S_{осн} = a^2 = (2 \sin a)^2 = 4 \sin^2 a \).
10. Высота пирамиды: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром \( l \), высотой пирамиды \( h \) и радиусом описанной окружности вокруг основания \( R \). \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \) (диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \), \( R = d/2 \)).
11. \( R = \frac{(2 \sin a)\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \sin a \)
12. По теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + R^2 \)
13. \( 1^2 = h^2 + (\sqrt{2} \sin a)^2 \)
14. \( 1 = h^2 + 2 \sin^2 a \)
15. \( h^2 = 1 - 2 \sin^2 a \)
16. \( h = \sqrt{1 - 2 \sin^2 a} \)
17. Объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} (4 \sin^2 a) \cdot \sqrt{1 - 2 \sin^2 a} \)
18. \( V = \frac{4}{3} \sin^2 a \sqrt{1 - 2 \sin^2 a} \)

Ответ: \( V = \frac{4}{3} \sin^2 a \sqrt{1 - 2 \sin^2 a} \).