22. Постройте график функции y = x² − 6x + 6 при x ≥ 2 и y = x − 3 при x < 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Функция задана частями:

\(y=\left\{\begin{array}{ll}x^2-6x+6,&x\ge2;\\x-3,&x<2.\end{array}\right.\)

Для параболы:

\(y=x^2-6x+6=(x-3)^2-3\).

Её вершина — точка \((3;-3)\), ветви направлены вверх. Используется часть параболы при \(x\ge2\). При \(x=2\): \(y=4-12+6=-2\), поэтому точка \((2;-2)\) закрашенная.

Для прямой \(y=x-3\) используется часть при \(x<2\). При приближении к \(x=2\) получаем \(y=-1\), поэтому точка \((2;-1)\) выколотая.

Рассмотрим пересечения с прямой \(y=m\).

На линейной части всегда одна точка при \(m<-1\), так как \(x=m+3<2\).

На параболе уравнение пересечения:

\(x^2-6x+6=m\),

\((x-3)^2=m+3\).

Если \(-3

Если \(m=-3\), парабола даёт одну точку \((3;-3)\), а прямая — одну точку: всего две.

Если \(-2\le m<-1\), парабола даёт одну точку с \(x\ge2\), а прямая — одну точку: всего две. При \(m=-2\) левая точка параболы имеет \(x=2\) и учитывается.

Если \(m=-1\), линейная часть точки не даёт, а парабола даёт одну точку: всего одна.

Если \(m>-1\), пересечение с прямой отсутствует, а с параболой — две точки: всего две.

Следовательно, подходят значения:

\(m=-3\), \(-2\le m<-1\) и \(m>-1\).

Ответ: \(m=-3\), \(m\in[-2;-1)\) или \(m>-1\).

Для построения графика отметь параболу \(y=(x-3)^2-3\) при \(x\ge2\) и луч прямой \(y=x-3\) при \(x<2\); точки \((2;-2)\) и \((2;-1)\) обозначь соответственно закрашенной и выколотой.