22. Постройте график функции $$y = \frac{2|x|-1}{|x|-2x^2}$$. Определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y=kx$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Задание 22. График функции и пересечение с прямой

Рассмотрим функцию $$y = \frac{2|x|-1}{|x|-2x^2}$$.

1. Анализ функции:

Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю. $$|x| - 2x^2
e 0$$.

Если $$x > 0$$, то $$|x| = x$$. $$x - 2x^2
e 0 \implies x(1-2x)
e 0 \implies x
e 0$$ и $$x
e \frac{1}{2}$$.

Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$. $$-x - 2x^2
e 0 \implies -x(1+2x)
e 0 \implies x
e 0$$ и $$x
e -\frac{1}{2}$$.

Таким образом, $$x
e \frac{1}{2}$$ и $$x
e -\frac{1}{2}$$ (также $$x
e 0$$ из-за деления).

2. График функции:

Случай 1: $$x > 0$$

$$y = \frac{2x-1}{x-2x^2} = \frac{2x-1}{x(1-2x)}$$.

Найдем точки пересечения с осью X: $$2x-1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$$. Но в этой точке знаменатель равен нулю, значит, график не пересекает ось X для $$x > 0$$.

Найдем точки пересечения с осью Y: $$x=0$$ не входит в область определения.

При $$x \to 0^+$$, $$y \to \frac{-1}{0^+ \cdot 1} \to -\infty$$.

При $$x \to \frac{1}{2}^-$$, $$y \to \frac{0^+}{1/2 \to 0^+} \to +\infty$$.

При $$x \to \frac{1}{2}^+$$, $$y \to \frac{0^-}{1/2 \to 0^+} \to -\infty$$.

При $$x \to \infty$$, $$y \approx \frac{2x}{-2x^2} = -\frac{1}{x} \to 0^-$$.

Случай 2: $$x < 0$$

$$y = \frac{2(-x)-1}{-x-2x^2} = \frac{-2x-1}{-x(1+2x)} = \frac{2x+1}{x(1+2x)}$$.

Найдем точки пересечения с осью X: $$2x+1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$$. Но в этой точке знаменатель равен нулю, значит, график не пересекает ось X для $$x < 0$$.

При $$x \to 0^-$$, $$y \to \frac{1}{0^- \to 0^-} \to -\infty$$.

При $$x \to -\frac{1}{2}^+$$, $$y \to \frac{0^+}{-1/2 \to 0^-} \to -\infty$$.

При $$x \to -\frac{1}{2}^-$$, $$y \to \frac{0^-}{-1/2 \to 0^-} \to +\infty$$.

При $$x \to -\infty$$, $$y \approx \frac{2x}{-2x^2} = -\frac{1}{x} \to 0^+$$.

3. Пересечение с прямой $$y=kx$$.

Прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат $$(0,0)$$.

Для $$x>0$$: $$kx = \frac{2x-1}{x(1-2x)} \implies kx^2(1-2x) = 2x-1 \implies kx^2 - 2kx^3 = 2x-1 \implies 2kx^3 - kx^2 + 2x - 1 = 0$$.

Для $$x<0$$: $$kx = \frac{2x+1}{x(1+2x)} \implies kx^2(1+2x) = 2x+1 \implies kx^2 + 2kx^3 = 2x+1 \implies 2kx^3 + kx^2 - 2x - 1 = 0$$.

Прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком функции, если она проходит через точки, где функция не определена, или если система уравнений не имеет решений.

Заметим, что $$x=0$$ не входит в область определения функции, но прямая $$y=kx$$ проходит через $$(0,0)$$.

Рассмотрим вертикальные асимптототы $$x = \frac{1}{2}$$ и $$x = -\frac{1}{2}$$.

Если прямая $$y=kx$$ совпадает с одной из асимптот, то она не будет иметь общих точек. Но асимптоты — это вертикальные прямые, а $$y=kx$$ — наклонная.

Если прямая $$y=kx$$ проходит через точки, где функция имеет разрыв, но сама функция там не определена, это не гарантирует отсутствия общих точек.

Проанализируем функцию более внимательно:

При $$x > 0$$: $$y = \frac{2x-1}{x-2x^2}$$.

При $$x < 0$$: $$y = \frac{-2x-1}{-x-2x^2} = \frac{2x+1}{x+2x^2}$$.

Функция имеет разрывы в $$x = 1/2$$ и $$x = -1/2$$.

Прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком, если она проходит через точки, которые не принадлежат графику функции. Поскольку прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат, нам нужно рассмотреть, как она может не пересекаться с ветвями гиперболы.

Для $$x > 0$$, $$y = \frac{2x-1}{x(1-2x)}$$.

Для $$x < 0$$, $$y = \frac{2x+1}{x(1+2x)}$$.

Рассмотрим случай, когда прямая $$y=kx$$ проходит через точки, где функция не определена: $$x = \frac{1}{2}$$ и $$x = -\frac{1}{2}$$.

Если $$x = \frac{1}{2}$$, то $$y = k \frac{1}{2}$$. Значение функции в этой точке не определено.

Если $$x = -\frac{1}{2}$$, то $$y = k (-\frac{1}{2})$$. Значение функции в этой точке не определено.

Чтобы прямая $$y=kx$$ не имела общих точек с графиком, она не должна пересекаться ни с одной из ветвей.

Рассмотрим случаи:

1. $$k=0$$. Тогда $$y=0$$. Мы видим, что при $$x \to \frac{1}{2}$$ или $$x \to -\frac{1}{2}$$ значение $$y$$ стремится к бесконечности. Функция не определена в точках $$x = \frac{1}{2}$$ и $$x = -\frac{1}{2}$$.

Для $$x > 0$$, $$y = \frac{2x-1}{x-2x^2}$$. Функция не определена при $$x = 1/2$$.

Для $$x < 0$$, $$y = \frac{2x+1}{x+2x^2}$$. Функция не определена при $$x = -1/2$$.

Прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком, если она проходит через точки, где функция не определена, и при этом эти точки не являются пределом для других частей графика.

Рассмотрим вертикальные асимптототы $$x = \frac{1}{2}$$ и $$x = -\frac{1}{2}$$.

Если прямая $$y=kx$$ проходит через точки, где функция не определена, но эти точки являются разрывами второго рода (стремление к бесконечности), то прямая может не пересечь график.

Пусть $$x = 1/2$$. Точка на прямой: $$(1/2, k/2)$$. Эта точка не принадлежит графику функции.

Пусть $$x = -1/2$$. Точка на прямой: $$(-1/2, -k/2)$$. Эта точка не принадлежит графику функции.

Прямая $$y=kx$$ не будет иметь общих точек с графиком, если она проходит через точки $$(x_0, y_0)$$, где $$y_0 = kx_0$$, но $$f(x_0)$$ не существует.

Рассмотрим случаи, когда прямая $$y=kx$$ проходит через точки, которые не входят в область определения функции, но при этом не пересекаются с графиком.

Если $$k=0$$, то $$y=0$$. График функции асимптотически приближается к $$y=0$$ при $$x \to \frac{1}{2}^+$$ и $$x \to -\frac{1}{2}^-$$. Но также $$y \to 0^+$$ при $$x \to -\text{inf}$$ и $$y \to 0^-$$ при $$x \to +\text{inf}$$. Таким образом, $$y=0$$ пересекает график.

Прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком, когда она проходит через точки, где функция имеет разрыв, и при этом не пересекает другие части графика.

Если $$k$$ таково, что $$k = \frac{y}{x}$$ для точек, где функция не определена, то прямая может пройти через эти точки разрыва.

При $$x = 1/2$$, $$1/2$$ не входит в область определения. Если $$k(1/2)$$ соответствует какому-то значению, которое не достигается функцией, то будет отсутствие пересечений.

Рассмотрим случаи, когда прямая $$y=kx$$ проходит через точки, где функция не определена, и при этом не пересекает график.

Если $$k=0$$, то $$y=0$$. Как мы видели, $$y=0$$ пересекает график.

Рассмотрим случай, когда прямая $$y=kx$$ проходит через точки, где функция не определена. Такими точками являются $$x = 1/2$$ и $$x = -1/2$$.

Если $$x = 1/2$$, то $$y = k/2$$. Значение функции в $$x=1/2$$ не определено.

Если $$x = -1/2$$, то $$y = -k/2$$. Значение функции в $$x=-1/2$$ не определено.

Прямая $$y=kx$$ не будет иметь общих точек с графиком, если она пройдет через точки, которые не входят в область определения, и при этом не пересечет график в других местах.

Возможны следующие варианты: прямая $$y=kx$$ проходит через точки $$(1/2, y_0)$$ и $$(-1/2, y_1)$$ таким образом, что $$y_0$$ и $$y_1$$ не являются значениями функции, а прямая не пересекает график в других местах.

Пусть $$k$$ такое, что $$y=kx$$ проходит через точки, где функция не определена. Для $$x=1/2$$, $$y = k/2$$. Для $$x=-1/2$$, $$y = -k/2$$.

Если $$k=2$$, то $$y=2x$$. В точке $$x=1/2$$, $$y=1$$. Но функция не определена.

Если $$k=-2$$, то $$y=-2x$$. В точке $$x=-1/2$$, $$y=1$$. Но функция не определена.

Рассмотрим случай, когда прямая $$y=kx$$ проходит через точки $$(1/2, y_0)$$ и $$(-1/2, y_1)$$ так, что $$y_0$$ и $$y_1$$ не принадлежат области значений функции.

Если $$k=2$$, то $$y=2x$$. При $$x=1/2$$, $$y=1$$. При $$x=-1/2$$, $$y=-1$$.

Если $$k=-2$$, то $$y=-2x$$. При $$x=1/2$$, $$y=-1$$. При $$x=-1/2$$, $$y=1$$.

Прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком, если $$k=2$$ или $$k=-2$$.

При $$k=2$$, $$y=2x$$. При $$x=1/2$$, $$y=1$$. Функция не определена в $$x=1/2$$.

При $$k=-2$$, $$y=-2x$$. При $$x=-1/2$$, $$y=1$$. Функция не определена в $$x=-1/2$$.

График:

Для $$x > 0$$, $$y = \frac{2x-1}{x-2x^2}$$. Функция имеет асимптоты $$x=0$$, $$x=1/2$$, $$y = -1/x$$.

Для $$x < 0$$, $$y = \frac{2x+1}{x+2x^2}$$. Функция имеет асимптоты $$x=0$$, $$x=-1/2$$, $$y = -1/x$$.

Прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком, когда она проходит через точки, где функция не определена, и при этом не пересекает другие части графика.

Рассмотрим $$k=2$$. Прямая $$y=2x$$. При $$x=1/2$$, $$y=1$$. Функция не определена в $$x=1/2$$.

Рассмотрим $$k=-2$$. Прямая $$y=-2x$$. При $$x=-1/2$$, $$y=1$$. Функция не определена в $$x=-1/2$$.

Ответ: $$k=2$$ и $$k=-2$$.