20. Решите неравенство $$\frac{x^2}{x-10} \le x$$.

Задание 20. Решение неравенства

Чтобы решить неравенство $$\frac{x^2}{x-10} \le x$$, перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{x^2}{x-10} - x \le 0 \]

\[ \frac{x^2 - x(x-10)}{x-10} \le 0 \]

\[ \frac{x^2 - x^2 + 10x}{x-10} \le 0 \]

\[ \frac{10x}{x-10} \le 0 \]

Теперь найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: $$10x = 0 \implies x = 0$$.
• Знаменатель: $$x-10 = 0 \implies x = 10$$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $$\frac{10x}{x-10}$$ в каждом интервале.

Интервалы:

• $$(-\infty, 0]$$: Возьмем $$x = -1$$. $$\frac{10(-1)}{-1-10} = \frac{-10}{-11} > 0$$.
• $$[0, 10)$$: Возьмем $$x = 1$$. $$\frac{10(1)}{1-10} = \frac{10}{-9} < 0$$.
• $$(10, \infty)$$: Возьмем $$x = 11$$. $$\frac{10(11)}{11-10} = \frac{110}{1} > 0$$.

Нам нужно, чтобы выражение было $$\le 0$$. Это интервал $$[0, 10)$$. Точка $$x=0$$ входит в решение (числитель равен 0), а точка $$x=10$$ не входит (знаменатель обращается в 0).

Ответ: $$[0, 10)$$.