22. Постройте график функции $$y = \begin{cases} x^2 + 4x - 1 & \text{при } x \ge -4, \\ x & \text{при } x < -4. \end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком функции 0, 1, 2, 3, 4 точки пересечения.

Привет! Давай построим этот график и разберемся с прямыми.

Шаг 1: Строим первую часть функции: $$y = x^2 + 4x - 1$$ при $$x \ge -4$$.

Это парабола. Найдем ее вершину. Формула вершины параболы $$x_в = -\frac{b}{2a}$$.

В нашем случае $$a=1, b=4$$.

\[ x_в = -\frac{4}{2 \times 1} = -2 \]

Найдем значение y в вершине:

\[ y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 \]

Вершина параболы находится в точке (-2, -5).

Нам нужно построить график только для $$x \ge -4$$. Найдем значение функции в точке $$x=-4$$:

\[ y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) - 1 = 16 - 16 - 1 = -1 \]

Значит, первая часть графика начинается в точке (-4, -1) и идет вверх, проходя через вершину (-2, -5).

Шаг 2: Строим вторую часть функции: $$y = x$$ при $$x < -4$$.

Это прямая линия. Нам нужно построить ее только для значений x меньше -4.

Найдем значение y при $$x = -4$$ (хотя эта точка не включается в график, она помогает нам понять, где заканчивается прямая):

\[ y = -4 \]

Эта часть графика — прямая, которая идет из левого нижнего угла и заканчивается в точке (-4, -4) (точка не включена).

Шаг 3: Анализируем пересечения с прямой $$y=m$$.

Прямая $$y=m$$ — это горизонтальная линия. Нам нужно понять, сколько раз она пересечет наш график в зависимости от значения m.

0 точек пересечения:

Горизонтальная прямая не пересечет график, если она находится ниже самой нижней точки графика. Самая нижняя точка графика — это вершина параболы (-2, -5). Поэтому, если $$m < -5$$, то пересечений не будет.

1 точка пересечения:

Это произойдет, если прямая $$y=m$$ пройдет через самую нижнюю точку графика. Это при $$m = -5$$.

2 точки пересечения:

Это произойдет, когда прямая $$y=m$$ находится между вершиной параболы и началом первой части графика, а также между началом первой части графика и концом второй части графика.

• Между вершиной (-2, -5) и точкой (-4, -1): $$ -5 < m < -1 $$.
• Между точкой (-4, -1) и концом прямой (-4, -4): Это невозможно, так как на $$x=-4$$ есть только одно значение $$y=-1$$.

3 точки пересечения:

Это произойдет, когда прямая $$y=m$$ проходит через точку, где начинается первая часть графика, или когда она проходит выше этой точки, но ниже, чем когда у нас 4 точки.

• Прямая проходит через точку (-4, -1): $$m = -1$$.
• Прямая проходит через точку, где заканчивается вторая часть графика (но не включительно): $$ -4 < m < -1 $$.

4 точки пересечения:

Это произойдет, когда прямая $$y=m$$ находится между