22. Постройте график функции y = 1 - (x+5)/(x^2+5x) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Для начала упростим функцию:

\[ y = 1 - \frac{x+5}{x^2+5x} \]

Заметим, что знаменатель x^2+5x можно разложить на множители: x(x+5) .

\[ y = 1 - \frac{x+5}{x(x+5)} \]

При x ≠ -5 и x ≠ 0 мы можем сократить (x+5) :

\[ y = 1 - \frac{1}{x} \]

Теперь построим график этой функции. Это гипербола y = -1/x , смещенная на 1 единицу вверх.

У этой функции есть две асимптоты: вертикальная x = 0 и горизонтальная y = 1 .

Однако, исходная функция имеет ограничения: x ≠ -5 и x ≠ 0 . При x = -5 , y = 1 - (1/(-5)) = 1 + 1/5 = 6/5 . Значит, в точке x = -5 будет выколотая точка (-5, 6/5) .

Прямая y = m является горизонтальной линией. Чтобы эта прямая не имела общих точек с графиком, она должна быть параллельна горизонтальной асимптоте и проходить через «выколотую» точку.

Горизонтальная асимптота у функции y = 1 - 1/x — это y = 1 .

Однако, условие задачи гласит, что прямая y = m не имеет общих точек. Наша функция y = 1 - 1/x имеет выколотую точку при y = 6/5 .

Таким образом, если m = 1 (горизонтальная асимптота), прямая не пересечет график. Если m = 6/5 (значение в выколотой точке), прямая также не пересечет график.

Ответ: m = 1 и m = 6/5 .