22. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение:

График функции состоит из двух частей:

• Ветвь параболы \( y = (x+2)^2 \) при \( x ≥ -3 \). Минимальное значение этой части графика достигается в вершине \( (-2, 0) \) и равно \( y = 0 \). На интервале \( x ≥ -3 \), значения \( y \) начинаются с \( y=1 \) (при \( x=-3 \)) и возрастают. То есть, для этой части графика \( y ≥ 0 \).
• Ветвь гиперболы \( y = \frac{3}{x} \) при \( x < -3 \). На этом интервале значения \( y \) отрицательны. При \( x → -∞ \) \( y → 0 \), а при \( x → -3 \) \( y → -1 \). То есть, для этой части графика \( -1 < y < 0 \).

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия.

Рассмотрим, сколько точек пересечения может быть:

1. Одна точка пересечения:
• Если \( m = 0 \), прямая \( y = 0 \) касается вершины параболы в точке \( (-2, 0) \).
• Если \( m = 1 \), прямая \( y = 1 \) пересекает параболу в двух точках: \( (-3, 1) \) и \( (-1, 1) \).
• Если \( m < -1 \), прямая \( y = m \) не пересекает график.
• Если \( -1 < m < 0 \), прямая \( y = m \) пересекает гиперболу в одной точке.
• Если \( m > 1 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках.
• Если \( 0 < m < 1 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках.

Уточнение:

• Одна общая точка:
• \( m=0 \) (касание параболы в вершине).
• \( m < -1 \) (не пересекает вообще, но это тоже одна из возможностей).
• \( m=-1 \) (пересекает гиперболу в одной точке \( (-3,-1) \) и не пересекает параболу).
• Две общие точки:
• \( m > 0 \) и \( m \neq 1 \) (пересекает параболу в двух точках).
• \( -1 < m < 0 \) (пересекает гиперболу в одной точке, а параболу - нет, здесь только одна точка).

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно одну общую точку с графиком:

• \( m = 0 \) (касание параболы в вершине \( (-2, 0) \)).
• \( m = 1 \) (пересечение параболы в точках \( (-3, 1) \) и \( (-1, 1) \), но эта линия также является границей для части параболы, где \( x \ge -3 \), и пересекает ее ровно в двух точках. Если \( m = 1 \), то \( x^2 + 4x + 4 = 1 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x+1)(x+3) = 0 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=-3 \). То есть две точки \( (-1, 1) \) и \( (-3, 1) \).
• \( m < -1 \) (одна точка пересечения с гиперболой, если \( m < -1 \)).
• \( m = -1 \) (одна точка пересечения с гиперболой \( (-3, -1) \)).

Чтобы прямая \( y = m \) имела две общие точки с графиком:

• \( m > 0 \) и \( m
  e 1 \) (пересекает параболу в двух точках).
• \( -1 < m < 0 \) (пересекает гиперболу в одной точке, а параболу — нет).

Итого:

• Одна общая точка: \( m = 0 \) (касание параболы) или \( m < -1 \) (пересечение с гиперболой) или \( m = -1 \) (пересечение с гиперболой).
• Две общие точки: \( m > 0, m
  e 1 \) (пересечение параболы) или \( -1 < m < 0 \) (пересечение гиперболы).

Переформулируем:

• Одну общую точку прямая \( y=m \) имеет, если: \( m = 0 \) (касается параболы в вершине \( (-2,0) \)) или \( m < -1 \) (пересекает гиперболу в одной точке) или \( m = -1 \) (пересекает гиперболу в точке \( (-3, -1) \)).
• Две общие точки прямая \( y=m \) имеет, если: \( m > 0 \) и \( m
  e 1 \) (пересекает параболу в двух точках) или \( -1 < m < 0 \) (пересекает гиперболу в одной точке, а параболу — ни разу).

Объединяя условия