22. На медиане BM равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отметили точку O. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный.

Доказательство:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \). \( BM \) — медиана. \( O \) — точка на \( BM \).

Нужно доказать: \( \triangle AOC \) — равнобедренный.

1. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), то его медиана \( BM \) является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \( BM \perp AC \) и \( \angle AMB = 90^{\circ} \).
2. Также, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).
3. Рассмотрим \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \):
• \( AB = CB \) (по условию, \( \triangle ABC \) равнобедренный).
• \( BM \) — общая сторона.
• \( \angle ABM = \angle CBM \) (так как \( BM \) — биссектриса).
4. Следовательно, \( \triangle ABM = \triangle CBM \) по двум сторонам и углу между ними (или по гипотенузе и катету, так как \( BM \perp AC \)).
5. Из равенства треугольников следует, что \( AM = CM \).
6. Теперь рассмотрим \( \triangle AOC \). Поскольку \( BM \) — высота, то \( AO \) и \( CO \) являются частями сторон, исходящими из точки \( O \) к основанию \( AC \).
7. Так как \( O \) лежит на медиане \( BM \), которая перпендикулярна \( AC \), то \( O \) является центром окружности, проходящей через точки \( A \) и \( C \) (в данном случае, \( O \) находится на оси симметрии треугольника \( ABC \)).
8. Более того, \( O \) является точкой на оси симметрии \( BM \). Любая точка на оси симметрии равнобедренного треугольника равноудалена от его боковых сторон. Но здесь важно, что \( BM \) — это ось симметрии, и \( O \) лежит на ней.
9. Рассмотрим \( \triangle AOM \) и \( \triangle COM \):
• \( AM = CM \) (доказано в п. 5).
• \( OM \) — общая сторона.
• \( \angle AMO = \angle CMO = 90^{\circ} \) (так как \( BM \perp AC \)).
10. Следовательно, \( \triangle AOM = \triangle COM \) по двум катетам.
11. Из равенства треугольников следует, что \( AO = CO \).
12. Поскольку \( AO = CO \), то \( \triangle AOC \) является равнобедренным треугольником с основанием \( AC \).

Что и требовалось доказать.