21. \(\angle A : \angle C = 2 : 5.\) Найдите \(\angle A\) и \(\angle C.\)

Решение:

В треугольнике \( ABC \) известно, что \( \angle B = 40^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), то есть \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).

Подставим известное значение \( \angle B \):

\( \angle A + 40^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} \Rightarrow \angle A + \angle C = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

Дано соотношение углов \( \angle A : \angle C = 2 : 5 \). Пусть \( \angle A = 2x \) и \( \angle C = 5x \).

Сложим эти выражения и приравняем к \( 140^{\circ} \):

\( 2x + 5x = 140^{\circ} \Rightarrow 7x = 140^{\circ} \Rightarrow x = \frac{140^{\circ}}{7} = 20^{\circ} \).

Теперь найдём сами углы:

\( \angle A = 2x = 2 \cdot 20^{\circ} = 40^{\circ} \)

\( \angle C = 5x = 5 \cdot 20^{\circ} = 100^{\circ} \)

Проверим: \( 40^{\circ} + 40^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ} \). Условие выполняется.

Ответ: \(\angle A = 40^{\circ}\), \(\angle C = 100^{\circ}\).