22. (3 балла). Исследуйте функцию и постройте график: f(x) = 3x² - x³

Исследование функции \( f(x) = 3x^2 - x^3 \)

1. Область определения функции (D(f)):
• Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
• \( D(f) = \mathbb{R} = (-\infty; +\infty) \)
2. Область значения функции (E(f)):
• Так как это кубический многочлен с отрицательным старшим коэффициентом, он неограничен снизу и сверху.
• \( E(f) = \mathbb{R} = (-\infty; +\infty) \)
3. Четность (нечетность) функции:
• \( f(-x) = 3(-x)^2 - (-x)^3 = 3x^2 - (-x^3) = 3x^2 + x^3 \)
• \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \)
• Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Точки пересечения графика с осями координат:
• с осью Oy (x=0):
• \( f(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0 \)
• Точка пересечения: \( (0; 0) \)
• с осью Ox (y=0):
• \( 3x^2 - x^3 = 0 \)
• \( x^2(3 - x) = 0 \)
• \( x^2 = 0 \) или \( 3 - x = 0 \)
• \( x = 0 \) или \( x = 3 \)
• Точки пересечения: \( (0; 0) \) и \( (3; 0) \)
5. Производная функции:
• \( f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2 \)
6. Стационарные точки (f'(x) = 0):
• \( 6x - 3x^2 = 0 \)
• \( 3x(2 - x) = 0 \)
• \( 3x = 0 \) или \( 2 - x = 0 \)
• \( x = 0 \) или \( x = 2 \)
7. Промежутки возрастания и убывания:
• Определим знаки производной на интервалах, образованных стационарными точками: \( (-\infty; 0), (0; 2), (2; +\infty) \).
• При \( x < 0 \) (например, \( x=-1 \)): \( f'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 < 0 \). Функция убывает.
• При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x=1 \)): \( f'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( x > 2 \) (например, \( x=3 \)): \( f'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0 \). Функция убывает.
8. Точки экстремума:
• В точке \( x = 0 \) происходит смена знака производной с "-" на "+", значит, это точка минимума.
• \( f(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0 \). Минимум в \( (0; 0) \).
• В точке \( x = 2 \) происходит смена знака производной с "+" на "-", значит, это точка максимума.
• \( f(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4 \). Максимум в \( (2; 4) \).
9. Таблица:

Интервал	\((-\infty; 0)\)	\((0; 2)\)	\((2; +\infty)\)
\( f'(x) \)	-	+	-
\( f(x) \)	убывает	возрастает	убывает

Точки перегиба и значения функции в этих точках: Для их нахождения нужна вторая производная.

• Вторая производная: \( f''(x) = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x \)
• Приравняем \( f''(x) = 0 \): \( 6 - 6x = 0 \implies 6x = 6 \implies x = 1 \).
• Определим знак второй производной:
• При \( x < 1 \) (например, \( x=0 \)): \( f''(0) = 6 > 0 \). Функция выпукла вниз (вогнута).
• При \( x > 1 \) (например, \( x=2 \)): \( f''(2) = 6 - 12 = -6 < 0 \). Функция выпукла вверх.
• В точке \( x = 1 \) происходит смена выпуклости, значит, это точка перегиба.
• \( f(1) = 3(1)^2 - (1)^3 = 3 - 1 = 2 \).
• Точка перегиба: \( (1; 2) \).
10. Дополнительные точки:
• Мы уже нашли точки пересечения с осями \( (0;0), (3;0) \), точки экстремума \( (0;0), (2;4) \), точка перегиба \( (1;2) \).
11. Асимптоты:
• Вертикальных асимптот нет, так как функция определена везде.
• Наклонные асимптоты вида \( y = kx + b \):
• \( k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - x^3}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (3x - x^2) = -\infty \)
• Так как \( k \) не является конечным числом, наклонных асимптот нет.

График функции:

Ответ: Функция определена на \( (-\infty; +\infty) \), область значений \( (-\infty; +\infty) \). Точка минимума \( (0; 0) \), точка максимума \( (2; 4) \), точка перегиба \( (1; 2) \). Функция убывает на \( (-\infty; 0) \) и \( (2; +\infty) \), возрастает на \( (0; 2) \). Пересекает оси в точках \( (0; 0) \) и \( (3; 0) \). Вертикальных и наклонных асимптот нет.