21. (3 балла). Решите уравнение 6sin²x-5cosx-5=0.

Решение:

Дано уравнение: \( 6\sin^2 x - 5\cos x - 5 = 0 \)

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) для замены \( \sin^2 x \):
• \( 6(1 - \cos^2 x) - 5\cos x - 5 = 0 \)
• \( 6 - 6\cos^2 x - 5\cos x - 5 = 0 \)
• \( -6\cos^2 x - 5\cos x + 1 = 0 \)
• Умножим на -1, чтобы получить положительный старший коэффициент:
• \( 6\cos^2 x + 5\cos x - 1 = 0 \)
2. Введём замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Тогда \( -1 \le t \le 1 \).
3. Уравнение примет вид квадратного:
4. \( 6t^2 + 5t - 1 = 0 \)
5. Найдём дискриминант:
6. \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 \)
7. Найдём корни \( t \):
• \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)
• \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-12}{12} = -1 \)
8. Оба корня \( t_1 = \frac{1}{6} \) и \( t_2 = -1 \) удовлетворяют условию \( -1 \le t \le 1 \).
9. Теперь вернёмся к замене \( \cos x = t \):
• Случай 1: \( \cos x = -1 \)
• \( x = \pi + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
• Случай 2: \( \cos x = \frac{1}{6} \)
• \( x = \pm \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \pi + 2\pi n \) и \( x = \pm \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).