21. Тип 21 № 126 Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А. известно, что он шел со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сде- пути получасовую остановку.

Дано:

• Расстояние между А и В: 19 км.
• Пешеход 1 (из А) встретился в 9 км от А.
• Пешеход 2 (из В) встретился в (19 - 9) = 10 км от В.
• Скорость пешехода 1 на 1 км/ч больше скорости пешехода 2.
• Пешеход 1 сделал остановку на 0.5 часа.

Найти:

• Скорость пешехода, шедшего из А.

Решение:

1. Обозначим скорости:

   Пусть $$v_A$$ — скорость пешехода из А, $$v_B$$ — скорость пешехода из В.

   По условию: $$v_A = v_B + 1$$.

2. Время движения:

   Пусть $$t$$ — время в пути (без учета остановки). Пешеход из А прошел 9 км, пешеход из В прошел 10 км.

   Время пешехода из А: $$t_A = \frac{9}{v_A}$$.

   Время пешехода из В: $$t_B = \frac{10}{v_B}$$.

3. Учтем остановку:

   Пешеход из А шел 9 км, но общее время, которое прошло с момента старта до встречи, включает время движения и время остановки. Для пешехода из В время движения равно времени встречи.

   Общее время движения пешехода из А = $$t_A + 0.5$$ (где 0.5 часа - остановка).

   Поскольку они вышли одновременно и встретились, время, прошедшее до встречи, для обоих одинаково. Однако, в задаче сказано, что пешеход из А сделал остановку. Обычно в таких задачах имеется в виду, что общее время от старта до встречи одинаково, если не указано иное. Предположим, что время, прошедшее с момента старта до встречи, одинаково для обоих, но пешеход из А потратил часть этого времени на остановку.

   Из условия "встретились в 9 км от А" и "сделал получасовую остановку", следует, что общее время, проведенное пешеходом из А вне дороги, составляет 0.5 часа. Время, за которое пешеход из А прошел 9 км, равно $$t_A$$. Значит, общее время от старта до встречи для пешехода из А равно $$t_A + 0.5$$.

   Время, за которое пешеход из В прошел 10 км, равно $$t_B$$.

   Поскольку они вышли одновременно, то:

   \[ t_A + 0.5 = t_B \]

4. Подставим выражения для времени:

   \[ \frac{9}{v_A} + 0.5 = \frac{10}{v_B} \]

5. Заменим $$v_B$$ через $$v_A$$:

   Так как $$v_A = v_B + 1$$, то $$v_B = v_A - 1$$. Подставим это в уравнение:

   \[ \frac{9}{v_A} + 0.5 = \frac{10}{v_A - 1} \]

6. Решим полученное уравнение:

   Приведем к общему знаменателю:

   \[ \frac{9 + 0.5v_A}{v_A} = \frac{10}{v_A - 1} \]

   Перекрестное умножение:

   \[ (9 + 0.5v_A)(v_A - 1) = 10v_A \]

   \[ 9v_A - 9 + 0.5v_A^2 - 0.5v_A = 10v_A \]

   \[ 0.5v_A^2 + 8.5v_A - 9 = 10v_A \]

   \[ 0.5v_A^2 - 1.5v_A - 9 = 0 \]

   Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

   \[ v_A^2 - 3v_A - 18 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение:

   Используем дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$:

   \[ D = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 \]

   \[ v_A = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{3 \pm 9}{2} \]

   Получаем два возможных значения для $$v_A$$:

   \[ v_{A1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

   \[ v_{A2} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

8. Выберем подходящий корень:

   Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v_{A2} = -3$$ не подходит.

   Скорость пешехода из А равна 6 км/ч.

9. Проверим:

   Если $$v_A = 6$$ км/ч, то $$v_B = v_A - 1 = 6 - 1 = 5$$ км/ч.

   Время пешехода из А (без остановки): $$t_A = \frac{9}{6} = 1.5$$ часа.

   Время пешехода из В: $$t_B = \frac{10}{5} = 2$$ часа.

   Общее время до встречи для пешехода из А с учетом остановки: $$1.5 + 0.5 = 2$$ часа.

   Время до встречи для пешехода из В: $$2$$ часа.

   Время совпадает, значит, расчет верен.

Ответ: 6