21. (самост.) Боковое ребро пирамиды разделено на 4 равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. S_осн = 400см². Найдите площади сечений.

Дано:

• Пирамида.
• Боковое ребро разделено на 4 равные части.
• Через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию.
• Площадь основания (S_осн) = 400 см².

Найти: Площади сечений.

Решение:

Когда боковое ребро пирамиды делится на 4 равные части и через точки деления проводятся плоскости, параллельные основанию, то получаются подобные пирамиды. Площади сечений, параллельных основанию, относятся как квадраты соответственных линейных размеров (например, как квадраты высот или как квадраты длин отрезков боковых ребер от вершины).

Пусть высота пирамиды равна H, а длина бокового ребра равна L.

Точки деления на боковом ребре от вершины будут на расстоянии:

• $$l_1 = \frac{1}{4}L$$
• $$l_2 = \frac{2}{4}L = \frac{1}{2}L$$
• $$l_3 = \frac{3}{4}L$$

Соответственно, высоты пирамид, образованных этими сечениями от вершины, будут:

• $$h_1 = \frac{1}{4}H$$
• $$h_2 = \frac{2}{4}H = \frac{1}{2}H$$
• $$h_3 = \frac{3}{4}H$$

Пусть $$S_1, S_2, S_3$$ - площади сечений, соответствующих высотам $$h_1, h_2, h_3$$. Площадь основания - $$S_3$$ (наибольшее сечение, которое является основанием исходной пирамиды).

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их линейных размеров:

\[ \(\frac\){S_{сечения}}{S_{основания}} = \(\left\)\(\frac{h_{сечения}}{H_{основания}}\right\)^2 \)

1. Первое сечение (от вершины):

Отношение высоты сечения к высоте пирамиды = $$\frac{1}{4}$$.

\[ \(\frac{S_1}\){S_{основания}} = \(\left\)\(\frac{1}{4}\right\)^2 = \(\frac{1}{16}\) \)

\[ S_1 = \(\frac{1}{16}\) \(\cdot\) S_{основания} = \(\frac{1}{16}\) \(\cdot\) 400 \(\text{ см}\)^2 = 25 \(\text{ см}\)^2 \)

2. Второе сечение (от вершины):

Отношение высоты сечения к высоте пирамиды = $$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$.

\[ \(\frac{S_2}\){S_{основания}} = \(\left\)\(\frac{1}{2}\right\)^2 = \(\frac{1}{4}\) \)

\[ S_2 = \(\frac{1}{4}\) \(\cdot\) S_{основания} = \(\frac{1}{4}\) \(\cdot\) 400 \(\text{ см}\)^2 = 100 \(\text{ см}\)^2 \)

3. Третье сечение (от вершины):

Отношение высоты сечения к высоте пирамиды = $$\frac{3}{4}$$.

\[ \(\frac{S_3}\){S_{основания}} = \(\left\)\(\frac{3}{4}\right\)^2 = \(\frac{9}{16}\) \)

\[ S_3 = \(\frac{9}{16}\) \(\cdot\) S_{основания} = \(\frac{9}{16}\) \(\cdot\) 400 \(\text{ см}\)^2 = 9 \(\cdot\) 25 = 225 \(\text{ см}\)^2 \)

Важно: Здесь $$S_3$$ - это площадь третьего сечения от вершины, которое уже является основанием для последней, самой маленькой пирамидки. Если под "площади сечений" подразумеваются площади всех четырех параллельных плоскостей, то последняя площадь будет $$S_{основания} = 400$$ см².

Если вопрос подразумевает площади всех 4 сечений (включая основание):

Площади сечений, начиная от вершины:

• $$S_1 = 25$$ см²
• $$S_2 = 100$$ см²
• $$S_3 = 225$$ см²
• $$S_4 = 400$$ см² (основание пирамиды)

Если вопрос подразумевает площади 3 сечений, которые делят ребро на 4 части:

Ответ: 25 см², 100 см², 225 см²