21 Коля пригласил Рому на день рождения, сказав, что живёт в четвёртом подъезде в квартире №59, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Рома увидел, что дом шестиэтажный. На каком этаже живёт Коля? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решение:

Дом шестиэтажный. Номера квартир начинаются с единицы. На каждом этаже число квартир одинаково. Рома живёт в квартире №59.

Нам нужно определить, на каком этаже находится квартира №59.

Пусть \( n \) — количество квартир на одном этаже.

Если бы квартира №59 была на 1-м этаже, то \( n \) должно быть не меньше 59.

Если бы квартира №59 была на 2-м этаже, то на 1-м этаже было \( n \) квартир (с 1 по \( n \)), а на 2-м — квартиры с \( n+1 \) по \( 2n \). Значит, \( 2n \) должно быть не меньше 59.

Если бы квартира №59 была на 3-м этаже, то \( 3n \) должно быть не меньше 59.

Если бы квартира №59 была на 4-м этаже, то \( 4n \) должно быть не меньше 59.

Если бы квартира №59 была на 5-м этаже, то \( 5n \) должно быть не меньше 59.

Если бы квартира №59 была на 6-м этаже, то \( 6n \) должно быть не меньше 59.

Нам нужно найти такое \( n \), чтобы \( 5n < 59 \) и \( 6n \geq 59 \). Это значит, что квартира №59 находится на 6-м этаже.

Ищем такое \( n \), чтобы \( 5n < 59 \leq 6n \).

Из \( 6n \geq 59 \) следует \( n \geq \frac{59}{6} \approx 9.83 \). Так как \( n \) — целое число, \( n \geq 10 \).

Из \( 5n < 59 \) следует \( n < \frac{59}{5} = 11.8 \).

Итак, \( n \) может быть равно 10 или 11.

Случай 1: \( n=10 \) квартир на этаже.

• 1 этаж: квартиры 1-10
• 2 этаж: квартиры 11-20
• 3 этаж: квартиры 21-30
• 4 этаж: квартиры 31-40
• 5 этаж: квартиры 41-50
• 6 этаж: квартиры 51-60

Квартира №59 находится на 6-м этаже.

Случай 2: \( n=11 \) квартир на этаже.

• 1 этаж: квартиры 1-11
• 2 этаж: квартиры 12-22
• 3 этаж: квартиры 23-33
• 4 этаж: квартиры 34-44
• 5 этаж: квартиры 45-55
• 6 этаж: квартиры 56-66

Квартира №59 находится на 6-м этаже.

В любом случае, если квартира №59 находится в шестиэтажном доме, и на каждом этаже одинаковое количество квартир, а номера квартир начинаются с 1, то квартира №59 будет на 6-м этаже, если количество квартир на этаже не более 11 (так как \( 5 \times 11 = 55 < 59 \)). Если бы квартир было 12 на этаже, то \( 5 \times 12 = 60 \), и квартира 59 была бы на 5-м этаже. Но это противоречит тому, что \( 6n \ge 59 \).

Рассмотрим, на каком этаже находится квартира \( k \). Этаж \( E = \lceil \frac{k}{n} \rceil \), где \( n \) — число квартир на этаже.

В нашем случае \( k = 59 \) и \( 6 \) этажей.

Если \( n=10 \), \( E = \lceil \frac{59}{10} \rceil = \lceil 5.9 \rceil = 6 \).

Если \( n=11 \), \( E = \lceil \frac{59}{11} \rceil = \lceil 5.36 \rceil = 6 \).

Следовательно, Коля живёт на 6-м этаже.

Ответ: 6