19 Задумано трёхзначное число, которое делится на 17. Справа к нему приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся шестизначное число делится на 18. Какое число задумали? Если таких чисел могло быть несколько, в ответе укажите наибольшее из них.

Решение:

Пусть задуманное трёхзначное число будет \( x \). Когда к нему приписали это же число ещё раз, получилось число \( 1000x + x = 1001x \). (Например, если задумали 123, то получилось 123123 = 1000 * 123 + 123).

По условию, это шестизначное число \( 1001x \) делится на 18.

Разложим число 1001 на множители: \( 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \).

Значит, \( 1001x = (7 \cdot 11 \cdot 13) \cdot x \).

Число \( 1001x \) должно делиться на 18, то есть на \( 2 \) и \( 9 \).

1. Делимость на 2: \( 1001 \) — нечётное число. Значит, \( x \) должно быть чётным, чтобы \( 1001x \) делилось на 2.
2. Делимость на 9: Сумма цифр числа \( 1001x \) должна делиться на 9. Сумма цифр числа \( x \) — это \( S(x) \). Тогда сумма цифр числа \( 1001x \) равна \( 2 \cdot S(x) \). Значит, \( 2 \cdot S(x) \) должно делиться на 9. Поскольку 2 и 9 взаимно просты, \( S(x) \) должно делиться на 9.

Итак, мы ищем трёхзначное число \( x \), которое:

• Делится на 17 (по условию).
• Является чётным.
• Сумма его цифр делится на 9.

Перечислим трёхзначные числа, кратные 17:

\( 17 \times 6 = 102 \) (чётное, сумма цифр \( 1+0+2=3 \), не делится на 9)

\( 17 \times 7 = 119 \) (нечётное)

\( 17 \times 8 = 136 \) (чётное, сумма цифр \( 1+3+6=10 \), не делится на 9)

\( 17 \times 9 = 153 \) (нечётное)

\( 17 \times 10 = 170 \) (чётное, сумма цифр \( 1+7+0=8 \), не делится на 9)

\( 17 \times 11 = 187 \) (нечётное)

\( 17 \times 12 = 204 \) (чётное, сумма цифр \( 2+0+4=6 \), не делится на 9)

\( 17 \times 13 = 221 \) (нечётное)

\( 17 \times 14 = 238 \) (чётное, сумма цифр \( 2+3+8=13 \), не делится на 9)

\( 17 \times 15 = 255 \) (нечётное)

\( 17 \times 16 = 272 \) (чётное, сумма цифр \( 2+7+2=11 \), не делится на 9)

\( 17 \times 17 = 289 \) (нечётное)

\( 17 \times 18 = 306 \) (чётное, сумма цифр \( 3+0+6=9 \), делится на 9!)

Итак, число 306 удовлетворяет всем условиям. Проверим:

Задуманное число = 306. Приписываем его справа: 306306.

Делится ли 306306 на 18? \( 306306 / 18 = 17017 \). Да, делится.

Нам нужно найти наибольшее такое число. Продолжим перебор.

\( 17 \times 19 = 323 \) (нечётное)

\( 17 \times 20 = 340 \) (чётное, сумма цифр \( 3+4+0=7 \), не делится на 9)

\( 17 \times 27 = 459 \) (нечётное)

\( 17 \times 28 = 476 \) (чётное, сумма цифр \( 4+7+6=17 \), не делится на 9)

\( 17 \times 36 = 612 \) (чётное, сумма цифр \( 6+1+2=9 \), делится на 9!)

Проверим 612:

\( 612612 / 18 = 34034 \). Да, делится.

Продолжаем поиск наибольшего числа. Заметим, что \( x \) должно быть кратно 17, чётным, и сумма цифр \( x \) должна делиться на 9.

Ищем наибольшее трёхзначное число \( x \), удовлетворяющее условиям.

Наибольшее трёхзначное число, кратное 17, это \( 17 \cdot 58 = 986 \).

Проверим \( x = 986 \):

• Кратное 17: Да.
• Чётное: Да.
• Сумма цифр: \( 9+8+6=23 \). Не делится на 9.

Следующее по убыванию кратное 17: \( 17 \cdot 57 = 969 \) (нечётное).

\( 17 \cdot 56 = 952 \) (чётное, сумма цифр \( 9+5+2=16 \), не делится на 9).

\( 17 \cdot 55 = 935 \) (нечётное).

\( 17 \cdot 54 = 918 \) (чётное, сумма цифр \( 9+1+8=18 \), делится на 9!)

Проверим \( x = 918 \):

\( 918918 / 18 = 51051 \). Да, делится.

Это число (918) больше, чем 306 и 612. Нам нужно найти наибольшее. Проверим ещё несколько.

\( 17 \cdot 53 = 901 \) (нечётное).

\( 17 \cdot 52 = 884 \) (чётное, сумма цифр \( 8+8+4=20 \), не делится на 9).

\( 17 \cdot 51 = 867 \) (нечётное).

\( 17 \cdot 50 = 850 \) (чётное, сумма цифр \( 8+5+0=13 \), не делится на 9).

\( 17 \times 45 = 765 \) (нечётное).

\( 17 \times 46 = 782 \) (чётное, сумма цифр \( 7+8+2=17 \), не делится на 9).

\( 17 \times 47 = 799 \) (нечётное).

\( 17 \times 48 = 816 \) (чётное, сумма цифр \( 8+1+6=15 \), не делится на 9).

\( 17 \times 49 = 833 \) (нечётное).

\( 17 \times 50 = 850 \) (чётное, сумма \( 13 \)).

\( 17 \times 51 = 867 \) (нечётное).

\( 17 \times 52 = 884 \) (чётное, сумма \( 20 \)).

\( 17 \times 53 = 901 \) (нечётное).

\( 17 \times 54 = 918 \) (чётное, сумма \( 18 \)) - нашли ранее, оно подходит.

\( 17 \times 55 = 935 \) (нечётное).

\( 17 \times 56 = 952 \) (чётное, сумма \( 16 \)).

\( 17 \times 57 = 969 \) (нечётное).

\( 17 \times 58 = 986 \) (чётное, сумма \( 23 \)).

\( 17 \times 59 = 1003 \) (это уже четырёхзначное).

Значит, наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее условиям, это 918.

Ответ: 918