21. (3 балла) Решите систему уравнений: 6^(x+y) = 216, 9^(x-y) = 81.

Решение:

Перепишем уравнения, представив числа в виде степеней основания.

Первое уравнение: \( 6^{x+y} = 216 \).

Так как \( 216 = 6^3 \), то \( 6^{x+y} = 6^3 \). Следовательно, \( x+y = 3 \).

Второе уравнение: \( 9^{x-y} = 81 \).

Так как \( 81 = 9^2 \), то \( 9^{x-y} = 9^2 \). Следовательно, \( x-y = 2 \).

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

\[ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 2 \end{cases} \]

Сложим оба уравнения, чтобы исключить \( y \):

\[ (x+y) + (x-y) = 3 + 2 \]\[ 2x = 5 \]\[ x = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Теперь подставим значение \( x \) в первое уравнение, чтобы найти \( y \):

\[ 2.5 + y = 3 \]\[ y = 3 - 2.5 \]\[ y = 0.5 \]

Проверим решение во втором уравнении:

\[ 2.5 - 0.5 = 2 \]

Решение верно.

Ответ: \( x = 2.5, y = 0.5 \).