Решение:
Запятая ставится для разделения однородных членов предложения, если они не соединены союзами и, или, либо. Также запятая ставится для разделения частей сложносочиненного или сложноподчиненного предложения.
- После обеда бабушка выходила на балкон или с вязанием или с шитьём. — Здесь однородные члены с вязанием и с шитьём, соединены повторяющимся союзом или...или, запятая не нужна.
- В XIX веке в Европе и Америке наука и производство развивались быстрыми темпами. — Здесь однородные подлежащие наука и производство, соединены союзом и, запятая не нужна.
- За снежным туманом не видно ни поля ни телеграфных столбов ни леса. — Здесь однородные дополнения ни поля, ни телеграфных столбов, ни леса, соединены повторяющимся союзом ни...ни, запятая не нужна.
- Богатый и не бедствует да жалуется. — Здесь сложносочиненное предложение. Первая часть «Богатый и не бедствует», вторая часть «(он) жалуется». Части соединены союзом да (в значении но), поэтому нужна запятая.
- Я проработал полгода в песках и как следует оценил их. — Здесь однородные сказуемые проработал и оценил, соединены союзом и, запятая не нужна.
Запятая нужна в предложениях 1 и 4, где либо однородные члены предложения, либо части сложного предложения.
Ответ: 1, 4