№1. Для функции f(x) = 2x² + x найдите первообразную, график которой проходит через точку А(1;1)

Краткое пояснение:

Для нахождения первообразной, мы проинтегрируем заданную функцию, а затем используем условие прохождения графика через точку для нахождения константы интегрирования.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим первообразную функции f(x) = 2x² + x. Интегрируем каждый член отдельно:
   \( F(x) = \int (2x^2 + x) dx = 2 \int x^2 dx + \int x dx \)
   \( F(x) = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C \)
   \( F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \)
2. Шаг 2: Используем условие, что график проходит через точку А(1;1). Подставляем x=1 и F(x)=1 в уравнение первообразной:
   \( 1 = \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + C \)
   \( 1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + C \)
3. Шаг 3: Находим константу C. Приводим дроби к общему знаменателю:
   \( 1 = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} + C \)
   \( 1 = \frac{7}{6} + C \)
   \( C = 1 - \frac{7}{6} = \frac{6}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{1}{6} \)

Ответ: Первообразная F(x) = \(\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}\)