№2. В прямоугольном ∆ABC ∠B = 90°, катет АВ равен 12 см, а гипотенуза равна 15 см. Найдите: 1) второй катет этого треугольника; 2) синус, косинус и тангенс ∠BCA.

Решение:

1. Найдём второй катет (BC):

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)

Нам дано: \( AB = 12 \text{ см} \), \( AC = 15 \text{ см} \).

\[ 15^2 = 12^2 + BC^2 \]

\[ 225 = 144 + BC^2 \]

\[ BC^2 = 225 - 144 \]

\[ BC^2 = 81 \]

\[ BC = \sqrt{81} = 9 \text{ см} \]

2. Найдём синус, косинус и тангенс ∠BCA:

Угол BCA — это угол, противолежащий катету AB.

Синус (sin): Отношение противолежащего катета к гипотенузе.

\[ \sin(\angle BCA) = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8 \]

Косинус (cos): Отношение прилежащего катета к гипотенузе.

\[ \cos(\angle BCA) = \frac{BC}{AC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6 \]

Тангенс (tg): Отношение противолежащего катета к прилежащему.

\[ \text{tg}(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \]

Ответ: 1) Второй катет равен 9 см. 2) \( \sin(\angle BCA) = 0.8 \), \( \cos(\angle BCA) = 0.6 \), \( \text{tg}(\angle BCA) = \frac{4}{3} \).