2. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 6, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано:

• Правильная треугольная пирамида.
• Сторона основания $$a = 6$$.
• Боковое ребро $$l = 5$$.

Найти: Площадь боковой поверхности $$S_{бок}$$.

Решение:

1. Правильная треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник.
2. Боковая поверхность состоит из трёх равных равнобедренных треугольников.
3. Найдем высоту боковой грани (апофему $$h_a$$). Рассмотрим один из боковых треугольников. Основание этого треугольника равно стороне основания пирамиды $$a=6$$, а боковые стороны равны боковым рёбрам пирамиды $$l=5$$.
4. Апофема $$h_a$$ является высотой этого равнобедренного треугольника и делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой $$l=5$$ и катетом $$a/2 = 6/2 = 3$$.
5. По теореме Пифагора: $$h_a^2 + (a/2)^2 = l^2$$.
6. $$h_a^2 + 3^2 = 5^2$$.
7. $$h_a^2 + 9 = 25$$.
8. $$h_a^2 = 25 - 9 = 16$$.
9. $$h_a = \sqrt{16} = 4$$. Апофема равна 4.
10. Площадь одной боковой грани (треугольника) равна $$S_{грани} = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times a \times h_a$$.
11. $$S_{грани} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$$.
12. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней: $$S_{бок} = 3 \times S_{грани}$$.
13. $$S_{бок} = 3 \times 12 = 36$$.

Ответ: 36