2. Сформулируйте и докажите первый признак равенства треугольников.

2. Первый признак равенства треугольников:

Признак: Если два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними, то они равны.

Формулировка: По двум сторонам и углу между ними (по двум сторонам и углу между ними).

Доказательство:

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), причём \( AC = A_1C_1 \), \( BC = B_1C_1 \) и \( \angle C = \angle C_1 \).

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Доказательство от противного (или методом наложения):

1. Отложим на \( \triangle ABC \) отрезок \( CB \) от вершины \( C_1 \) треугольника \( \triangle A_1B_1C_1 \) вдоль луча \( C_1B_1 \). Так как \( CB = C_1B_1 \), то точка \( B \) совпадёт с точкой \( B_1 \).

2. Отложим на \( \triangle ABC \) отрезок \( CA \) от вершины \( C_1 \) треугольника \( \triangle A_1B_1C_1 \) вдоль луча \( C_1A_1 \). Так как \( CA = C_1A_1 \), то точка \( A \) совпадёт с точкой \( A_1 \).

3. Так как \( \angle C = \angle C_1 \), то луч \( CB \) совпадёт с лучом \( C_1B_1 \), а луч \( CA \) совпадёт с лучом \( C_1A_1 \).

4. Следовательно, точка \( B \) совпадёт с \( B_1 \), а точка \( A \) совпадёт с \( A_1 \).

5. Таким образом, \( \triangle ABC \) полностью совпадёт с \( \triangle A_1B_1C_1 \), что и означает их равенство.

Вывод: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по первому признаку равенства треугольников.