2. Решите уравнение: 5ˣ⁺¹ + 5ˣ + 5ˣ⁻¹ = 31.

Решение:

Вынесем общий множитель \( 5^x \) за скобки. Воспользуемся свойствами степеней: \( 5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 \) и \( 5^{x-1} = 5^x \cdot 5^{-1} \).

Подставим в уравнение:

\( 5^x \cdot 5^1 + 5^x \cdot 1 + 5^x \cdot 5^{-1} = 31 \)

\( 5^x (5 + 1 + \frac{1}{5}) = 31 \)

\( 5^x (6 + \frac{1}{5}) = 31 \)

\( 5^x (\frac{30+1}{5}) = 31 \)

\( 5^x \cdot \frac{31}{5} = 31 \)

Разделим обе части на \( \frac{31}{5} \):

\( 5^x = 31 \cdot \frac{5}{31} \)

\( 5^x = 5 \)

Так как основания равны, равны и показатели степени:

\( x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \).