2. Решите уравнение 3 – x = √9-√36x² – 5x⁴

Решение уравнения:

Дано уравнение: \( 3 - x = √{9 - √{36x^2 - 5x^4}} \)

1. Ограничения:

Для существования квадратного корня необходимо:

1. \( 9 - √{36x^2 - 5x^4} ≥ 0 \)
2. \( 36x^2 - 5x^4 ≥ 0 \)

Из второго условия: \( x^2(36 - 5x^2) ≥ 0 \). Так как \( x^2 ≥ 0 \) всегда, то \( 36 - 5x^2 ≥ 0 \), что означает \( 5x^2 ≥ 36 \), \( x^2 ≥ \frac{36}{5} \), \( |x| ≥ \frac{6}{√{5}} \).

Из первого условия: \( 9 ≥ √{36x^2 - 5x^4} \). Возведём обе части в квадрат: \( 81 ≥ 36x^2 - 5x^4 \), или \( 5x^4 - 36x^2 + 81 ≥ 0 \).

2. Решение уравнения:

Возведём обе части исходного уравнения в квадрат:

\( (3 - x)^2 = 9 - √{36x^2 - 5x^4} \)

\( 9 - 6x + x^2 = 9 - √{36x^2 - 5x^4} \)

\( -6x + x^2 = - √{36x^2 - 5x^4} \)

\( 6x - x^2 = √{36x^2 - 5x^4} \)

Для того, чтобы это уравнение имело решение, необходимо \( 6x - x^2 ≥ 0 \), т.е. \( x(6 - x) ≥ 0 \), что означает \( 0 ≥ x ≥ 6 \).

Теперь возведём обе части в квадрат:

\( (6x - x^2)^2 = 36x^2 - 5x^4 \)

\( 36x^2 - 12x^3 + x^4 = 36x^2 - 5x^4 \)

\( -12x^3 + x^4 = -5x^4 \)

\( 6x^4 - 12x^3 = 0 \)

\( 6x^3(x - 2) = 0 \)

Получаем два возможных решения: \( x = 0 \) или \( x = 2 \).

3. Проверка решений:

Проверим \( x = 0 \):

Левая часть: \( 3 - 0 = 3 \).

Правая часть: \( √{9 - √{36(0)^2 - 5(0)^4}} = √{9 - √{0}} = √{9} = 3 \).

\( 3 = 3 \). Решение \( x = 0 \) подходит.

Проверим \( x = 2 \):

Левая часть: \( 3 - 2 = 1 \).

Правая часть: \( √{9 - √{36(2)^2 - 5(2)^4}} = √{9 - √{36 · 4 - 5 · 16}} = √{9 - √{144 - 80}} = √{9 - √{64}} = √{9 - 8} = √{1} = 1 \).

\( 1 = 1 \). Решение \( x = 2 \) подходит.

Ответ: x = 0, x = 2.