2) Решите неравенства: a) ((x-6)(4x+7))/(9-x) <= 0; б) (1/3)^x^2 <= 1/81

Решение:

а) \( \frac{(x-6)(4x+7)}{9-x} \le 0 \)

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

1. \( (x-6)(4x+7) = 0 \Rightarrow x = 6 \) или \( x = -\frac{7}{4} \).
2. \( 9-x = 0 \Rightarrow x = 9 \).

Отметим эти точки на числовой прямой: \( -\frac{7}{4}, 6, 9 \). Знаменатель \( 9-x \) не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq 9 \).

Определим знаки выражений на интервалах:

• Интервал \( (-\infty, -\frac{7}{4}) \): Возьмем \( x = -2 \). \( (-2-6)(4(-2)+7) / (9-(-2)) = (-8)(-1) / 11 = 8/11 > 0 \).
• Интервал \( (-\frac{7}{4}, 6) \): Возьмем \( x = 0 \). \( (0-6)(4(0)+7) / (9-0) = (-6)(7) / 9 = -42/9 < 0 \).
• Интервал \( (6, 9) \): Возьмем \( x = 7 \). \( (7-6)(4(7)+7) / (9-7) = (1)(35) / 2 = 35/2 > 0 \).
• Интервал \( (9, \infty) \): Возьмем \( x = 10 \). \( (10-6)(4(10)+7) / (9-10) = (4)(47) / (-1) = -188 < 0 \).

Нас интересует, где выражение \( \le 0 \). Значит, объединяем интервалы \( (-\frac{7}{4}, 6) \) и \( (9, \infty) \). Учитывая, что \( x=6 \) входит в решение (так как \( \le 0 \)), а \( x = -\frac{7}{4} \) также входит, получаем:

Ответ: \( x \in [-\frac{7}{4}, 6] \cup (9, \infty) \).

б) \( (\frac{1}{3})^{x^2} \le \frac{1}{81} \)

Представим \( \frac{1}{81} \) как степень \( \frac{1}{3} \): \( \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^4 \).

Неравенство принимает вид:

\[ (\frac{1}{3})^{x^2} \le (\frac{1}{3})^4 \]

Так как основание степени \( \frac{1}{3} < 1 \), при раскрытии степени нужно сменить знак неравенства:

\[ x^2 \ge 4 \]

Решим полученное квадратное неравенство:

\[ x^2 - 4 \ge 0 \]

Найдем корни уравнения \( x^2 - 4 = 0 \): \( x = \pm 2 \).

Парабола \( y = x^2 - 4 \) ветвями вверх. Неравенство \( x^2 - 4 \ge 0 \) выполняется при \( x \le -2 \) или \( x \ge 2 \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \).