2. Решите неравенства: \(3x^2 + 5x - 8 \ge 0\)

Решение:

Это квадратное неравенство. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения \(3x^2 + 5x - 8 = 0\).

Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 \]

Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 11}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 11}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]

Парабола \(y = 3x^2 + 5x - 8\) ветвями направлена вверх (так как \(a=3 > 0\)). Неравенство \(3x^2 + 5x - 8 \ge 0\) выполняется там, где парабола находится выше или на оси \(Ox\).

Это происходит при \(x \le -\frac{8}{3}\) или \(x \ge 1\).

Ответ: \(x \in \left(-\infty; -\frac{8}{3}\right] \cup [1; +\infty)\).