1. Вычислите: \(\sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[6]{16}\)

Решение:

Запишем подкоренные выражения в виде степеней:

\(\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3^{4/3}\)

\(\sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{2^4} = 2^{4/6} = 2^{2/3}\)

Теперь перемножим:

\[ \sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[6]{16} = 3^{4/3} \cdot 2^{2/3} \]

Приведём степени к общему показателю \(\frac{2}{3}\):

\[ 3^{4/3} = 3^{2 \cdot 2/3} = (3^2)^{2/3} = 9^{2/3} \]

Теперь:

\[ 9^{2/3} \cdot 2^{2/3} = (9 \cdot 2)^{2/3} = 18^{2/3} \]

Можно записать как \(\sqrt[3]{18^2} = \sqrt[3]{324}\).

Ответ: \(18^{2/3}\) или \(\sqrt[3]{324}\).