2. Постройте графики функций y = 2/x и y = x + 1. Укажите координаты точек пересечения этих графиков.

Задание 2. Графики функций и точки пересечения

Нужно построить графики функций \( y = \frac{2}{x} \) (гипербола) и \( y = x + 1 \) (прямая), а затем найти координаты точек их пересечения.

1. График функции \( y = \frac{2}{x} \):

• Это гипербола, ветви которой расположены в I и III четвертях.
• Оси координат являются асимптотами.

2. График функции \( y = x + 1 \):

• Это прямая. Чтобы ее построить, найдем две точки.
• Если \( x = 0 \), то \( y = 0 + 1 = 1 \). Точка (0, 1).
• Если \( y = 0 \), то \( 0 = x + 1 \), значит \( x = -1 \). Точка (-1, 0).

3. Находим точки пересечения:

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:

\[ \frac{2}{x} = x + 1 \]

Умножим обе части на \( x \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):

\[ 2 = x(x + 1) \]

\[ 2 = x^2 + x \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По Виету: \( x_1 + x_2 = -1 \), \( x_1 \cdot x_2 = -2 \). Подбираем корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -2 \).

Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждой точки пересечения, подставив \( x \) в любое из уравнений, например, в \( y = x + 1 \):

• Для \( x_1 = 1 \): \( y_1 = 1 + 1 = 2 \). Первая точка пересечения: (1, 2).
• Для \( x_2 = -2 \): \( y_2 = -2 + 1 = -1 \). Вторая точка пересечения: (-2, -1).

4. Построение графиков:

Ответ: Координаты точек пересечения: (1, 2) и (-2, -1).