№2 Построить график функции, указать ее область определения и множество значений. Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), является ли функция ограниченной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение: y= (x-5)⁴ + 1.

Решение:

Функция: \( y = (x-5)^4 + 1 \)

1. Область определения (D(y)):

Функция определена для всех действительных значений \( x \), так как любое действительное число можно возвести в 4-ю степень и прибавить 1. Поэтому \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

2. Область значений (E(y)):

Выражение \( (x-5)^4 \) всегда неотрицательно, то есть \( (x-5)^4 \ge 0 \) для всех \( x \).

Следовательно, \( (x-5)^4 + 1 \ge 0 + 1 \), то есть \( y \ge 1 \).

Значит, \( E(y) = [1; +\infty) \).

3. Возрастание/убывание:

Функция \( y = x^4 \) является четной и убывает на \( (-\infty; 0] \) и возрастает на \( [0; +\infty) \).

Наша функция \( y = (x-5)^4 + 1 \) — это преобразование графика \( y = x^4 \): сдвиг на 5 единиц вправо и на 1 единицу вверх.

Функция убывает на интервале \( (-\infty; 5] \) и возрастает на интервале \( [5; +\infty) \).

4. Ограниченность:

Функция ограничена снизу, так как \( y \ge 1 \).

Функция не ограничена сверху, так как \( y \) может принимать сколь угодно большие значения.

5. Наибольшее/наименьшее значение:

Наименьшее значение функции равно 1 и достигается при \( x = 5 \) (так как \( (5-5)^4 + 1 = 0^4 + 1 = 1 \)).

Наибольшего значения функция не имеет.

6. График:

График функции \( y = (x-5)^4 + 1 \) похож на график \( y = x^4 \), но сдвинут вправо на 5 единиц и вверх на 1 единицу. Вершина параболы находится в точке \( (5; 1) \).

Ответ: Область определения: \((-\infty; +\infty)\). Область значений: \([1; +\infty)\). Функция убывает на \((-\infty; 5]\) и возрастает на \([5; +\infty)\). Функция ограничена снизу. Наименьшее значение равно 1 при \(x=5\), наибольшего значения нет.