2. Даны точки К(0; 1), M(-3;-3), N(1;-6). а) Докажите, что треугольник KMN равнобедренный и прямоугольный б) Найдите длину медианы NL

2. Решение:

а) Доказательство, что \( \triangle KMN \) равнобедренный и прямоугольный:

Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками \( \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).

\( KM = \sqrt{(-3-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \)

\( KN = \sqrt{(1-0)^2 + (-6-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} \)

\( MN = \sqrt{(1-(-3))^2 + (-6-(-3))^2} = \sqrt{(1+3)^2 + (-6+3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \)

Так как \( KM = MN = 5 \), треугольник \( KMN \) равнобедренный.

Проверим выполнение теоремы Пифагора для \( \triangle KMN \):

\( KM^2 + MN^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \)

\( KN^2 = (\sqrt{50})^2 = 50 \)

Так как \( KM^2 + MN^2 = KN^2 \), то \( \triangle KMN \) прямоугольный (угол \( \angle KMN = 90^{\circ} \)).

б) Нахождение длины медианы NL:

Медиана NL проводится из вершины N к середине стороны KM. Найдем координаты середины отрезка KM (точка L).

\( L = \left( \frac{0 + (-3)}{2}, \frac{1 + (-3)}{2} \right) = \left( \frac{-3}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (-1.5, -1) \)

Теперь найдем длину медианы NL:

\( NL = \sqrt{(1 - (-1.5))^2 + (-6 - (-1))^2} = \sqrt{(1 + 1.5)^2 + (-6 + 1)^2} = \sqrt{(2.5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{6.25 + 25} = \sqrt{31.25} \)

\( \sqrt{31.25} = \sqrt{\frac{3125}{100}} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \)

Ответ: а) \( \triangle KMN \) равнобедренный, так как \( KM = MN = 5 \), и прямоугольный, так как \( KM^2 + MN^2 = KN^2 \); б) \( NL = \frac{5\sqrt{5}}{2} \).