№2. Дано: AB и AC — касательные. Доказать: OA — биссектриса ∠BOC.

Решение:

Дано: \( AB \) и \( AC \) — касательные к окружности с центром \( O \). \( B \) и \( C \) — точки касания.

Доказать: \( OA \) — биссектриса \( \angle BOC \).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle OAB \) и \( \triangle OAC \).
2. \( OB = OC \) — как радиусы окружности.
3. \( OA \) — общая сторона для обоих треугольников.
4. \( \angle OBA = \angle OCA = 90° \) — так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
5. Следовательно, \( \triangle OAB = \triangle OAC \) по гипотенузе и катету (признак равенства прямоугольных треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что \( \angle BOA = \angle COA \).
7. По определению биссектрисы угла, \( OA \) делит \( \angle BOC \) на два равных угла.
8. Значит, \( OA \) — биссектриса \( \angle BOC \).

Что и требовалось доказать.