2. Дана функция: f(x) = 2x³ - 3x²(2x - 1). Найдите: а) промежутки возрастания и убывания; б) ее точки максимума и минимума; в) наибольшее и наименьшее ее значения на промежутке [4; 6].

Решение:

Дана функция \( f(x) = 2x^3 - 3x^2(2x - 1) \).

Упростим функцию:

\( f(x) = 2x^3 - 6x^3 + 3x^2 \)

\( f(x) = -4x^3 + 3x^2 \)

а) Промежутки возрастания и убывания:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (-4x^3 + 3x^2)' = -12x^2 + 6x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( -12x^2 + 6x = 0 \)
3. Вынесем общий множитель: \( 6x(-2x + 1) = 0 \).
4. Отсюда \( 6x = 0 \) или \( -2x + 1 = 0 \).
5. Получаем \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{2} \).
6. Определим знаки производной на интервалах:
• На интервале \( (-∞, 0) \): возьмем \( x = -1 \), \( f'(-1) = -12(-1)^2 + 6(-1) = -12 - 6 = -18 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (0, \frac{1}{2}) \): возьмем \( x = \frac{1}{4} \), \( f'(\frac{1}{4}) = -12(\frac{1}{4})^2 + 6(\frac{1}{4}) = -12 \frac{1}{16} + \frac{6}{4} = -\frac{3}{4} + \frac{3}{2} = \frac{3}{4} > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (\frac{1}{2}, +∞) \): возьмем \( x = 1 \), \( f'(1) = -12(1)^2 + 6(1) = -12 + 6 = -6 < 0 \). Функция убывает.

б) Точки максимума и минимума:

На основе анализа знаков производной:

• В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с \(-\) на \(+\), значит, это точка минимума.
• В точке \( x = \frac{1}{2} \) производная меняет знак с \(+\) на \(-\), значит, это точка максимума.

в) Наибольшее и наименьшее значения на промежутке [4; 6]:

На данном промежутке производная \( f'(x) = 6x(-2x + 1) \) отрицательна (так как \( x > 0 \) и \( -2x + 1 < 0 \) при \( x \ge 1 \)). Следовательно, функция на промежутке \( [4, 6] \) убывает.

Наибольшее значение будет в левой границе промежутка, а наименьшее — в правой.

• Значение в точке \( x = 4 \): \( f(4) = -4(4)^3 + 3(4)^2 = -4(64) + 3(16) = -256 + 48 = -208 \).
• Значение в точке \( x = 6 \): \( f(6) = -4(6)^3 + 3(6)^2 = -4(216) + 3(36) = -864 + 108 = -756 \).

Ответ:

а) Функция убывает на \( (-∞, 0] \) и \( [\frac{1}{2}, +∞) \). Функция возрастает на \( [0, \frac{1}{2}] \).

б) Точка минимума: \( x = 0 \). Точка максимума: \( x = \frac{1}{2} \).

в) Наибольшее значение: -208 (при \( x=4 \)). Наименьшее значение: -756 (при \( x=6 \)).